1. Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е.

И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде Е где Е- длина единичного отрезка е, а символназывать дробью.

Определение. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных п-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде Е, где символ — называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n - натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку 1, где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью. Можно взять шестнадцатую часть отрезкае, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью, то она может быть выражена и любой дробью вида, гдеk-натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дробиивыражали длину одного того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ра­венство тq = пр.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Две дроби и называются равными, если тq = пр.

Если дроби равны, то пишут

Например, , так как 1721 = 1193, а потому что 1727=459, 1923 = 437 и 459  437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно: =,так как равенство mn = nm справедливо для любых натуральных чисел n и m.

Равенство дробей симметрично: если , то , так как из mq = nр следует, что рn = qm (m, n, р, q ). Оно транзитивно: если и , то .В самом деле, так как , то mq = nр, а так как , то рs = qr. Умножив обе части равенства mq = nр на s, а равенства рs = qr на n, получим mqs = nрs и nрs = qrs. Откуда mqs =qrn или ms = nr. Последнее равенство означает, что . Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой.

Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(n, q).

Например. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и.

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15=35, 35=57. Тогда К(15,35)=357=105. Поскольку 105=157=35 3, то ,