Основные понятия темы

• Число «нуль» с теоретико–множественных позиций – это число элементов пустого множества: 0 = n ().

• Если отношение “меньше” рассматривать с теоретико–множественной точки зрения, то:

а  b _а   _b, где _а = 1, 2, …,а, _b = 1, 2, …, b

а  b  А  В₁ , где В₁  В и В₁ В, В₁  , а = n (В), b = n (В).

• Так как количественные натуральные числа связаны с конечными множествами, то действия над числами оказались связанными с действиями над множествами:

Сложение чисел – с объединением конечных непересекающихся множеств;

Вычитание чисел – с дополнением подмножества;

Умножение чисел – с объединением равночисленных попарно непересекающихся множеств;

Деление чисел – с разбиением множества на попарно непересекающиеся подмножества.

• Было установлено, что:

а + b = n (А , где n (А ), b = n (В) и     ;

а – b = n (А \ В), где а = n (А ), b = n (В) и В  А;

а  b = n (А ₁ А ₂… А _n), где n (А₁) = n (А₂)= …= n (А _n) = а и множества А ₁, А ₂, …, А _n попарно не пересекаются;

а : b, то:

1. число элементов в каждом подмножестве разбиения множества А, если n (А) = а и b - число подмножеств;

2. число подмножеств в разбиении множества А, если n (А) = а и b – число элементов в каждом подмножестве.

• Так как действия над числами получили теоретико–множественную трактовку, то такую же трактовку оказалось возможным дать и их свойствам.

Практическая часть

Обязательные задания

1. Почему на уроке, где изучается число «четыре», можно исполь­зовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных множеств?

2. Какой подход к определению отношения «меньше» используется при ознакомлении младших школьников с неравенством 3 < 4, если выполняются следующие действия: возьмем три розовых кружка и четыре синих и каждый розовый кружок наложим на синий; видим, что синий кружок остался незакрытым, значит, розовых кружков меньше, чем синих, поэтому можно записать: 3 < 4.

3. Исходя из различных определений отношения «меньше», объяс­ните, почему 2 < 5?

4. Как, используя теоретико-множественный подход к числу, объ­яснить, что 4 = 4?

5. Каков теоретико-множественный смысл суммы: а) 3+5; б) 0+4; в) 0+0.

6. Дайте теоретико-множественное истолкование суммы k слагаемых и, используя полученный вывод, объясните теоретико-множественный смысл суммы: а) 3 + 4 + 2; б) 1 + 2 + 3 + 4.

7. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением.

а) Дима сорвал 8 слив, Нина - 4. Сколько всего слив сорвали Дима и Нина вместе?

б) Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько всего карандашей взяли из коробки?

8. Объясните с теоретико-множественной точки зрения смысл выражений: а) 8 - 3; б) 4 - 4; в) 4 - 0.

9. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи вычитания.

а) В корзине было 7 морковок, 3 из них отдали кроликам. Сколько морковок осталось?

б) На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?

в) На верхней полке шкафа 7 книг, а на нижней 4. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?

10. Обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) На одной полке 5 книг, на другой на 3 больше. Сколько книг на двух полках?

б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько всего детей гуляло во дворе?

11. Запишите, используя символы, правило вычитания суммы из числа и дайте его теоретико-множественное истолкование.

12. Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения 2  4.

13. Раскройте теоретико-множественный смысл произведения 2  4, используя определение произведения чисел через декартово произве­дение множеств.

14. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.

а) На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько всего яблок положили?

б) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

16. Используя теоретико-множественный смысл действий над числами, обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники - 4 ряда, а третьеклассники - 5 рядов. Сколько учеников начальных клас­сов было в кинотеатре, если в каждом ряду они занимали по 9 мест?

б) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?

16. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными при выполнении ими следующих заданий.

а) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя 9 рядов по 8 тюльпанов.

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

Пользуясь данным условием, объясните, что означают выражения: 72+ 72; 722; 89-8.

б) В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

16. Объясните, что означают выражения, составленные по условию данной задачи: 9 6; 8  2; 8  6; 9 - 8; (9 - 8) 2; (9-8)  6.

17. Используя теоретико-множественный смысл частного, объясните смысл выражений: а) 10:2; б)5:1; в) 5:5.

18. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи деления. а) 15 редисок связали в пучки по 5 редисок в каждом. Сколько получилось пучков? б) 15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый?

21. Назовите отношения, которые рассматриваются в задачах, ре­шите задачи арифметическим методом, выбор действий обоснуйте.

а) Для украшения елки девочка вырезала 4 звездочки, а флажков в 3 раза больше. Сколько флажков вырезала девочка?

б) У Коли в 4 раза больше открыток, чем у Вовы. А у Лены их на 20 меньше, чем у Коли. Сколько открыток у Лены, если у Вовы их 7?

в) Миша поймал 48 окуней, Саша - на 6 меньше, чем Миша, а Коля - в 7 раз меньше, чем Саша. Сколько окуней поймали все мальчики?

21. Какое правило является обобщением различных арифметических способов решения задачи. а) В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки? б) В лапту играли 8 девочек и 6 мальчиков. Они разделились на 2 команды. Сколько человек было в каждой команде?

Творческие задания

1. Докажите, что дистрибутивность умножения относительно сложения вытекает из равенства А  (В  С) = (А  В)  (А  С), а относительно вычитания - из равенства (А \ В)  С) = (А  В) \ (А  С).

2. Составьте сценарий практической работы для младших школьников по сравнению численностей множеств без их нахождения.

3. Проведите практическую работу, подтверждающую, что сумма 5 + 3 не зависит от выбора множеств, численности которых равны 5 и 3.

4. Докажите, что 0+0+…+0=0.

5. Докажите важное правило прибавления суммы к сумме, опираясь на теоретико-множественный подход к определению суммы: (a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d), (a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)

6. Придумайте практическую работу по нахождению того, на сколько в одном множестве больше элементов (без нахождения их численности).

7. Опишите практическую работу в начальной школе, подтверждающую эквивалентность деления “на” и “по”.