2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

Выясним смысл, который имеет в математике союз «и». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «и» составное высказывание. Полученное высказывание называют конъюнкцией и обозначают А  В (читают: «А и В»).

Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание АВ, которое истинно, когда обо высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.

Заметим, что данное определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза «и». Действительно, если мы знаем, что каждое из предложений «сегодня идет снег» и «сегодня холодно» истинно, то мы будем считать истинным и предложение «сегодня идет снег и холодно». Если же одно из этих предложений или оба будут ложными, то и всё предложение «сегодня идет снег и холодно» мы будем считать ложным.

Заметим также, что в обычной речи конъюнкция может выражаться не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только…, но и…». Например: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».

Выясним теперь, какой смысл имеет в математике союз «или».

Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Полученное высказывание называют дизъюнкцией и обозначают А В (читают: «А или В»).

Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание АВ, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.

Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истинным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.

Образование составного высказывания с помощью логической связки называется логической операцией. Операция, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией; операция, соответствующая союзу «или», - дизъюнкцией. Заметим, что названия логических операций и их результаты (составные предложения) называются одинаково.

Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний.

Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А₁  А₂  …  А_t, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания.

Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида А₁  А₂  …  А _t, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.