Практическая работа. Решение геометрических задач

Цель. Обобщить и систематизировать основные понятия планиметрии и их свойства. Уметь решать практические задачи на их применение.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. История возникновения и развития геометрии.

2. Свойства геометрических фигур на плоскости: углы.

3. Параллельные и перпендикулярные прямые.

4. Треугольники.

5. Четырехугольники.

6. Многоугольники.

7. Окружность и круг.

Основные понятия темы

• отрезок, луч;

• угол (прямой, острый, тупой), смежные углы, вертикальные углы;

• параллельные прямые, перпендикулярные прямые;

• треугольник (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний);

• четырехугольник (выпуклый, невыпуклый), параллелограмм, тра­пеция, прямоугольник, ромб, квадрат;

• многоугольник (выпуклый, невыпуклый), многоугольная фигура;

• окружность, касательная к окружности, круг.

Практическая часть

Углы

1. Назовите свойства угла, которые включены в его определение. Можете ли вы назвать другие свойства понятия “угол”?

2. Вспомните определение биссектрисы угла. Как, не используя чертежных инструментов, найти биссектрису угла, вырезанного из бумаги?

3. Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой?

4. Как расположены центры окружностей одного и того же радиу­са, проходящих через данную точку?

5. Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки?

6. Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.

7. Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности прямые.

8. Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.

9. Как найти центр окружности, если он неизвестен?

10. В данной окружности проведены два диаметра и концы их попарно соединены хордами. Докажите, что получившийся четырехугольник - прямоугольник.

11. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены?

12. В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?

13. Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, располагая только рулеткой.

14. Острый угол между диагоналями прямоугольника 60°, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

15. Угол при вершине равнобедренного треугольника 120°, боковая его сторона 4 дм. Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника.

Параллельные и перпендикулярные прямые

16. Какие свойства параллельных прямых включены в их определе­ние и в аксиому параллельных?

17. Как построить параллельные прямые с помощью линейки и чер­тежного треугольника? На каком признаке параллельности основано это построение?

18. Верны ли следующие утверждения:

а) Если две прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны.

б) Если при пересечении двух параллельных прямых третьей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

19. Как практически проверить, параллельны ли две данные пря­мые, начерченные на бумаге?

20. Докажите, что две прямые, лежащие в одной плоскости и пер­пендикулярные к одной и той же третьей прямой, параллельны между собой.

21. Углы АВС и СВD - смежные, угол СВD равен . Определите угол между перпендикуляром, проведенным из точкиВ к прямой АD, и биссектрисой угла АВС.

Треугольники

19. Можно ли из палочек длиной 10 см, 6 см, 4 см сложить треугольник?

20. Как установить, равны два треугольника или нет?

21. Назовите свойства равнобедренного треугольника. Какие из них содержатся в определении, а какие надо доказывать?

22. Отвечают ли требованиям, предъявляемым к определениям понятий, следующие формулировки: а) Треугольник, у которого две стороны и два угла равны, называется равнобедренным. б) Средней линией треугольника называется прямая, проходящая через середины двух его сторон. в) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и параллельный основанию.

26. Могут ли равносторонние треугольники быть: а) прямоугольными; б) тупоугольными? Ответ обоснуйте.

27. Установите вид треугольника (по углам), если один из его внутренних углов: а) равен сумме двух других; б) больше суммы двух других; в) меньше суммы двух других.

28. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два остроугольных?

29. Прямая р пересекает отрезок А В в точке О, являющейся его серединой. Докажите, что точки A и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой р.

30. Отрезки АВ и СО пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого. Докажите, что АС и ВО параллельны.

31. Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму: а) прямоугольного треугольника; б) равностороннего треугольника?

Четырехугольники

26. Постройте параллелограмм АВСD и его высоты, выходящие из вершины С.

27. Обоснуйте следующий способ построения параллелограмма, предложенный младшим школьникам: «Проведи две пересекающиеся прямые. При помощи циркуля отложи на одной прямой от точки пересечения равные отрезки. Затем на другой прямой таким же образом отложи равные отрезки (не обязательно такой же длины, что и на первой прямой). Получится параллелограмм».

28. Докажите, что всякий параллелограмм, у которого диагонали равны, есть прямоугольник.

29. Мастерская изготовила пластины четырехугольной формы. Как проверить, будет ли пластина иметь форму прямоугольника, располагая лишь линейкой с делениями.

30. Мастеру надо изготовить щит, который должен полностью закрыть нишу прямоугольной формы. Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить этот щит?

31. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

32. Докажите, что почтовый конверт склеивается из листа бумаги, имеющей форму ромба (припуски на склеивание не учитывать).

33. Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая проверка?

34. Столяру нужно изготовить подставку в форме четырехугольника. Какие размеры должен он иметь для выполнения заказа? Что должен измерить столяр, если подставка имеет форму: а) параллело­грамма; б) прямоугольника; в) ромба; г) квадрата?

35. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

36. Докажите, что отрезки прямых, соединяющих середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

37. Земельный участок, имеющий форму трапеции, отдан под спортивный городок. Какие размеры должен снять землемер, чтобы начертить план этого участка?

Многоугольники

26. Сформулируйте определение простой замкнутой ломаной и постройте такую фигуру.

27. Расстояние от пункта А до пункта В равно 3 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Каково наибольшее и наименьшее расстояние от пункта А до пункта С?

28. Могут ли все углы выпуклого четырехугольника быть: а) тупыми; б) острыми; в) прямыми?

29. Сколько прямых углов может иметь: а) параллелограмм; б) трапеция?

30. Дан квадрат, разрезанный по диагонали на два треугольника. Сколько выпуклых многоугольников, отличных от квадрата, можно составить из этих треугольников?

31. Квадрат разрезан по своим диагоналям. Сколько выпуклых многоугольников, отличных от квадрата, можно составить из четырех образовавшихся треугольников?

32. Разрежьте по диагонали произвольный прямоугольник и из полученных треугольников составьте всевозможные выпуклые многоугольники.

33. Назовите свойства правильного многоугольника. Можете ли вы привести пример многоугольника, не являющегося правильным, но имеющего: а) все равные между собой углы; б) все равные стороны?

34. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов равна 40d?

35. Можно ли сложить паркет из правильных: а) треугольников, б) пятиугольников; в) восьмиугольников; г) восьмиугольников и квадратов?

Круг и окружность

26. Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой?

27. Как расположены центры окружностей одного и того же радиуса, проходящих через данную точку?

28. Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки?

29. Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.

30. Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности, прямые.

31. Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.

32. Как найти центр окружности, если он неизвестен?

33. В данной окружности проведены два диаметра и концы их попарно соединены хордами. Докажите, что получившийся четырехуголь­ник - прямоугольник.

34. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены?

35. В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?

36. Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, располагая только рулеткой.

37. Острый угол между диагоналями прямоугольника 60°, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

38. Угол при вершине равнобедренного треугольника 120°, боковая его сторона 4 дм. Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника.