1. Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Как правило, целью классификации является систематизация наших знаний. Например, в биологии имеется классификация животных, охватывающая до 1,5 млн. различных видов животных, в ботанике – классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть это многообразие в определенной системе, выделить интересующие нас виды растений и животных.

Широко применяется классификация в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше развернутого) бывают острые, прямые и тупые.

Выясним условия, которым должны удовлетворять правильно выполненная классификация.

Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.

Определение. Считают, что множество Х разбито на классы Х₁, Х₂,…,Х_п, если:

1. подмножества Х₁, Х₂,…,Х_п попарно не пересекаются;

2. объединение подмножеств Х₁, Х₂,…,Х_п совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают не правильной.

Так, множество Х треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются (среди остроугольных нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных – тупоугольных) и их объединение совпадает с множеством Х.

Однако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонний, то разбиения множества Х на классы не мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными).

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5 и т.д. Предположим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.

Таким образом, задание одного свойства элементов множества натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два класса: класс чисел, кратных 3 и класс чисел, не кратных 3.

Рассмотрим разбиение множества на классы, если для его элементов указать два свойства, т.е. выделить из множества два различных подмножества.

Рассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5».При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А- подмножество чисел, кратных 3, и В – подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

Проанализируем получившуюся картину. Круг, изображающий множество N натуральных чисел, разбился на 4 непересекающиеся области – они пронумерованы римскими цифрами. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Определим, какие числа оказались в каждом из этих непересекающихся подмножеств. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II – из чисел, кратных 3 и не кратным 5; подмножество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IY – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества приводит к разбиению этого множества именно на 4 класса. Так бывает не всегда. Например, при помощи двух свойств «быть прямоугольным» и «быть тупоугольным» множество треугольников разбивается на три класса:

А - класс прямоугольных треугольников;

В - класс тупоугольных треугольников;

С - класс треугольников, не являющихся ни прямоугольными, ни тупоугольными треугольниками.