1. Высказывания с кванторами

В предыдущих лекциях были рассмотрены различные виды математических предложений. Определено, что среди них выделяются высказывания и высказывательные формы, которые могут быть элементарными и составными. Показано, как устанавливают значение истинности таких высказываний и как находят множество истинности высказывательных форм. Однако этим, не исчерпывается все многообразие формулировок математических предложений, и, значит, не выяснены многие правила общения с ними. Например, почему можно одну и ту же теорему о равенстве вертикальных углов формулировать по–разному:

1. Вертикальные углы равны.

2. Если углы вертикальные, то они равны.

3. Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными.

4. Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны.

Или: почему истинность предложения «сумма трех любых последовательных натуральных чисел делится на 3» надо доказывать, а чтобы убедится в истинности предложения «некоторые натуральные числа делятся на 3», достаточно привести конкретный пример?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо более глубокое изучение математических предложений и, прежде всего, высказываний с кванторами.

В формулировкам математических предложений часто встречаются слова: «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один». Например, свойство противоположных сторон прямоугольника формулируется так: «в любом прямоугольнике противоположные стороны равны», а о свойстве натуральных чисел мы говорили, что «некоторые натуральные числа кратны 5». Выясним, каков смысл этих слов и как они используются в математике.

Если задана высказывательная форма, то, чтобы превратить ее в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Например, если на множестве N натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) – «число х кратно 5», то, подставив в нее вместо х число 20, мы получим истинное высказывание «число 20 кратно 5». Если же в эту высказывательную форму подставить вместо х число 17, мы получим ложное высказывание «число 17 кратно 5».

Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» подставить слово «всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит, предложение «всякое число х кратно 5» (х  N) – высказывание, причем ложное.

Определение. Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х.

Запись (х) А(х) означает: «для всякого значения х предложение А(х)– истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначениями обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А (х), и тогда предложение (х  Х) А(х) можно прочитать :

а) для всякого х из множества Х истинно А(х);

б) всякий элемент из множества Х обладает свойством А.

Определение. Выражение «существует х такое, что …» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом  х.

Запись ( х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ( хХ) А(х) можно прочитать:

а) существует такое х из множества Х, что истинно А(х);

б) хотя бы один элемент х из множества Х обладает свойством А.

Замечание. В математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Обратим внимание на особенность употребления в математике слова «некоторый». В обычной речи, говоря «некоторые», имеют в виду «по меньшей мере один, но не все», в математике же слово «некоторые» означает «по меньшей мере один, но, может быть, и все».

Итак, если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная форма « х  у», то для получения высказывания надо связать квантором обе переменные: например, (х) ( у) х  у или ( х) ( у) х  у.

Однако важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания, содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру. Дело в том, что кванторы содержатся в формулировках определений, теорем и других математических предложений, хотя часто только подразумеваются. Например, в формулировке теоремы «Вертикальные углы равны» квантора в явном виде нет, но предполагается, что данное утверждение справедливо для всех вертикальных углов. Записывая коммутативное свойство сложения в виде а+в=в+а, подразумевают, что оно справедливо для любых чисел а и в.

Задача 1. Выявить логическую структуру следующих высказываний:

а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

в) В прямоугольнике диагонали равны.

Решение. а) В этом предложении имеется квантор существования, он выражен словом «некоторые», и высказывательная форма «нечетные числа делятся на 5», заданная на множестве Х нечетных чисел. Обозначим высказывательную форму символом А(х), тогда логическая структура данного предложения такова: ( хХ) А(х). Если предложение А(х) записать, используя символы: «х 5», то исходное высказывание можно представить в таком виде: ( хХ) х 5, где Х – множество нечетных чисел.

б) В данном предложении имеется квантор общности, он представлен словом «любой», и высказывательная форма «произведение двух последовательных натуральных чисел кратно 2», заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначим ее А(х). Тогда логическая структура данного высказывания такова: ( х N) А(х). И если А(х) представить в виде х (х +1) 2, то заданное предложение можно записать так: ( х N) х (х +1) 2.

в) В заданном высказывании квантора в явном виде нет, но подразумевается, что свойством «иметь равные диагонали» обладают любые прямоугольники, следовательно, этот квантор общности можно включить в заданное высказывание, не изменив его сути: «в любом прямоугольнике диагонали равны». Тогда его структура такова: (х  Х) А(х), где Х – множество прямоугольников, А (х) – высказывательная форма «в прямоугольнике диагонали равны».