2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.

Компоненты напряженного состояния малы по сравнению с другими составляющими, т.к. основание пластины свободно от нагрузок, а толщина пластины h мала по сравнению с поперечными размерами. По этой же причине компоненты мало изменяются по толщине и поэтому могут считаться независящими от координаты z . Поэтому тензоры напряжений и деформаций при ПНС имеют вид:

,

причем функции зависят только от двух координат. Условие пластичности Треска-Сен-Венана принимает следующий вид:

, если (7.2)

или , если

Условие Губера-Мизеса при любых соотношениях главных напряжений имеет вид:

(7.3)

Плоское напряженное состояние имеет место в некоторых процессах листовой штамповки, хотя известны примеры его использования для расчетов процесса прокатки слябов вертикальными валками при осо-

бом условии пластичности [41].

Под плоским деформированным состоянием (ПДС) понимается такой вид НДС, когда поля напряжений и деформаций в сечениях, перпендикулярных некоторой оси, одинаковы. Поэтому достаточно определить их в одном сечении, и они будут известны во всем теле. Возникает ПДС при выполнении следующих 4-х условий:

1. Размеры деформируемого тела в направлении одной из осей

значительно превышают его размеры в остальных направлениях;

2. Тело нагружено уравновешенной системой сил, приложенных к его поверхности, и не изменяющихся вдоль большего размера;

3. Перемещения вдоль большего размера тела отсутствуют;

4.Сечения тела, перпендикулярные большему размеру, при деформи-

ровании не искривляются (т.н. депланация сечений отсутствует).

Условия возникновения ПДС показаны на рис.7.7.

Рисунок 7.7 − Плоское деформированное состояние

В каждом сечении, параллельном плоскости XOY, деформации

и скорости деформаций будут одинаковыми в сходственных точках. Вдоль оси z деформация отсутствует ( =0). Но напряженное состояние будет объемным, т.к. . Благодаря тому, что есть нормальные напряжения , нет и . Поскольку сечения XOY не депланируются, то и является главным напряжением.

Переход в пластическое состояние по условию Треска-Сен-Венана происходит при:

(7.4)

где .

При условии несжимаемости среды такой же вид для ПДС имеет

и условие Губера-Мизеса, но .

Некоторые, весьма распространенные процессы ОМД, такие как прокатка широких листов на гладкой бочке, протяжка плоскими бойками и др. имеют НДС, весьма близкое к ПДС. Поэтому этот вид НДС довольно широко применяется в практике расчетов и его следует рассмотреть подробнее.