3.10 Инварианты тензора малых деформаций

Как и каждый симметричный тензор 2-го ранга, ε_ij имеет 3 базисных инварианта, из которых линейными преобразованиями можно получить бесконечное множество других инвариантов. В произ-вольных осях базисные инварианты следующим образом выражаются

через компоненты тензора:

(3.18)

Относительное изменение объема Θ частицы сплошной среды в результате деформации, в соответствии с физическим смыслом дивергенции, равно:

(3.19)

Т.о. видно, что первый инвариант ε_ij равен относительной объемной деформации. Если среда несжимаема, то 0. Отсюда следует условие несжимаемости:

ε _x + ε_y + ε_z = 0, (3.20)

которое в таком виде справедливо только при постоянной плотности сплошной среды.

Тензор малых деформаций можно разложить на шаровую и девиаторную части:

или ε_ij = ε₀₀ + d_ij.

Шаровая часть описывает изменение объема (которое при ОМД бывает только упругим), а девиаторная – изменение формы тела, упругое или пластическое – в зависимости от нагрузки.

Если символом ε_о обозначить среднюю линейную деформацию:

то тогда:

Первый инвариант девиатора тождественно равен нулю. Второй инвариант:

(3.21)