3.8 Общий случай малых деформаций *

Рассматривая большие деформации мы исходили из того, что и при неоднородном деформированном состоянии, когда функция (х, у, z) нелинейна, в бесконечно малой окрестности любой точки деформированное состояние можно считать однородным. Это позволило нам ограничиться первыми производными в разложении функции в ряд Тейлора. В общем случае, когда напряжения неравномерно распределяются по элементарным площадкам, функцию смещения нельзя считать линейной даже в бесконечно малых окрестностях точки. Действительно, неравномерно распределенные напряжения будут вызывать, кроме удлинений и сдвигов, искривление граней элементарных объемов (рис. 3.9):

σ_x

до деформации после

Рисунок 3.9 − Искривление граней элементарного объема

Поэтому в общем случае элементарный объем после деформации будет иметь вид, показанный на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 − Элементарный объем после деформации

Выясним, можно ли через компоненты описать искривление граней. Для этого разложим в ряд Тейлора функцию , взяв для простоты случай плоской деформации:

С другой стороны, кривизна грани есть степень неравномерности ее поворота:

χ_zx = ; χ_zу = ; т.е. χ_ij = .

Но известно, что

Поэтому:

и т.д.

Т.о. кривизна граней действительно описывается вторыми производными ряда Тейлора. Она может быть также выражена через компоненты Т_ε:

χ_zx = ; χ_zy = .

Поэтому и в общем случае малые деформации определяются тензором Т_ε, хотя для получения полной картины деформированного состояния по ε_ij следует находить тензор χ_ij , а также использовать его компоненты при определении поля вектора смещений по полю деформаций.