3.11 Главные деформации

Вследствие симметрии тензора ε_ij в каждой точке деформируемого тела есть три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными осями. Они обладают тем свойством, что элементарные кубы, построенные на этих осях, при деформации изменяют только длину ребер, а углы между их гранями остаются неизменными, как это

видно по рисунку 3.12:

Рисунок 3.12 − Главные деформации

Главные оси обозначаются индексами 1, 2, 3. Линейные деформации вдоль главных осей называются главными деформациями. Правило индексов:

ε₁ ≥ ε₂ ≥ ε₃ .

Главные деформации являются экстремальными значениями линейных деформаций в данной точке среды. В связи с этим ε₁ называется максимальной, ε₃ – минимальной, а ε₂ – средней линейными деформациями.

Характеристическое уравнение ε_ij позволяет определить величину главных деформаций:

(3.22)

Направление главных осей (главные направления) ε_ij находятся так же, как и у любого симметричного тензора 2-го ранга. В главных осях выражения для инвариантов ε_ij упрощаются:

(3.23)

Деформация в направлении в главных осях:

(3.24)

Линейная деформация:

(3.25)

Угловая деформация:

(3.26)

Доказательства вышеприведенных положений совпадают с соответствующим доказательством для напряженного состояния. Т.о. видно, что между теориями напряженного и деформированного состояний имеется глубокая аналогия. Большинство соотношений для деформированного состояния (при малых деформациях) может быть получено из соответствующих формул для напряженного состояния, если в них вместо компонент σ_ij подставить компоненты ε_ij .