3.12 Максимальные угловые деформации

Ориентируя различным образом элементарные кубы до деформации можно добиться такого их расположения, что после деформации искажения углов между гранями будут максимальными, т.е. сдвиговые деформации достигнут максимума (тогда как при ориентировании ребер куба вдоль главных осей они достигнут минимума – нуля). Доказывается это так же, как и в случае максимальных касательных напряжений.

Берем выражение при сдвиге в произвольном направлении (3.26). Один из направляющих косинусов, например n, исключается из него при помощи соотношения l² + m² + n² = 1. Полученное выражение дифференцируется по l и m и приравнивается к нулю для определения экстремальных значений функции. Затем описанное повторяется при исключении l и m . В результате получается совокупность значений направляющих косинусов (см. табл. п. 2.11), при которых γ_ν получают экстремальные значения. В первых трех столбцах этой таблицы представлены направления, в которых γ_ν минимальны. Это главные направления. В трех последних столбцах – косинусы нормалей к плоскостям, в которых сдвиги максимальны (рис. 3.13). Легко видеть, что это плоскости τ_max. Это естественно, поскольку γ_max вызываются максимальними касательными напряжениями.

Рисунок 3.13 − Направления максимальных сдвигов

Величину максимальных сдвигов можно найти, подставив значения косинусов из упомянутой таблицы в (3.26):

Правило индексов для главных деформаций такое же, как и для главных напряжений, поэтому самым большим по модулю будет сдвиг γ₁₃.

Относительные линейные деформации в направлении нормалей к площадкам максимальных сдвигов по (3.25), с учетом экстремальных значений косинусов, выражаются соотношениями, аналогичными выражениям для нормальных напряжений на площадках максимальных касательных:

(3.28)

Поскольку в направлении нормалей к площадкам имеют

место линейные деформации, то нельзя считать главными сдви-

говыми деформациями.