3.9 Анализ деформированного состояния в точке

Везде в дальнейшем будем рассматривать малые деформации. Если тензор ε_ij действительно определяет деформированное состояние в точке, то с его помощью можно рассчитать деформацию в произвольном направлении (аналогично полному напряжению на произвольно ориентированной площадке).

Тензор ε_ij характеризует изменение деформационной части поля во всевозможных направлениях. Изменение его в некотором направлении, заданном вектором , где l, m, n – косинусы углов между вектором и осями координат х, у, z соответственно, определяется производной по направлению. Она находится как произведение вектора на тензор ε_ij слева:

где е_νx, е_νу, е_νz можно истолковывать как деформацию среды в нап-равлениях х, у, z соответственно. Полная деформация в направлении является суммой ее проекций на оси:

(3.15)

Деформация не является ни линейной, ни угловой и поэтому представляет интерес разложение ее на деформацию удлинения (или укорочения) ε_ν в направлении и сдвиг γ_ν элементарного куба в направлении (рис.3.11).

Рисунок 3.11 − Линейная и угловая деформации в произвольном

направлении

Для определения ε_ν необходимо спроектировать на :

( 3.16)

Деформация сдвига γ_ν определяется как проекция на перпендикуляр к :

Модуль этой угловой деформации равен:

(3.17)