3.7 Тензоры конечных деформаций

Рассмотрим общий случай больших деформаций, когда траектории перемещения элементарных объемов являются кривыми (рис.3.8). В этом случае приращения компонент вектора смещений будут нелинейными и поэтому при разложении в ряд Тейлора функции (х, у,

z) нужно учитывать бесконечно малые члены второго порядка малости.

Рисунок 3.8 − Конечные деформации

При описании движения по Эйлеру получим симметричный тензор, характеризующий компоненты конечной (большой) деформации:

или в тензорной форме записи:

(3.13)

Этот тензор называется тензором Альманси.

Если опустить в (3.13) члены второго порядка малости, то тензор Альманси превратится в тензор малых деформаций (3.12).

Большие деформации в переменных Лагранжа описываются симметричным тензором Грина:

(3.14)

Из-за сложности математического выражения тензоры Альманси и Грина не используются при аналитическом решении задач ОМД. Однако их применяют при экспериментальных исследованиях деформированного состояния [12].

В случае малых деформаций тензор Грина переходит в лагранжев тензор L_ε , который при принятых допущениях равен Т_ε. Поэтому в теории малых деформаций используется лагранжево описание движения при сохранении системы обозначений по Эйлеру. Это дает возможность проследить все геометрические изменения при переходе от начального состояния к конечному (после деформации).