2.12 Шаровой тензор и девиатор напряжений

Наблюдения показывают, что формоизменение твердых тел при нагружении зависит не только от величины компонент , но и от характера напряженного состояния. Большинство твердых тел хорошо противостоит без изменения формы очень высокому давлению всестороннего сжатия и, в то же время, сравнительно легко меняет форму под действием касательных напряжений. В связи с этим целесообразно разделить компоненты на вызывающие изменение объема дефор-

мируемого тела и вызывающие изменение формы тела.

Выделим из σ_ij среднее нормальное напряжение σ_о :

(2.36)

которое еще называется гидростатическим вследствие аналогии с законом Паскаля. В этом случае оно обозначается .

Такое выделение всегда возможно, т.к. любой тензор можно представить в виде суммы тензоров:

(2.37)

Первое слагаемое в правой части (2.37) называется шаровым тен-зором напряжений Т_σ^о (или σ_оо), и второе – девиатором напряжений Д_σ (или S_ij). Т.о. тензор напряжений всегда можно представить как сумму:

σ_ij = σ_оо + S_ij

Матрица девиатора напряжений обозначается также:

Шаровой тензор влияет только на изменение объема, а девиатор – только на изменение формы.

Название «шаровой тензор» связано со следующим. Пространст-

венным образом напряженного состояния в точке является т.н. «эллипсоид напряжений», поскольку любому симметричному тензору 2-го ранга в пространстве напряжений соответствует поверхность 2-го порядка. Главные оси тензора являются также осями этой поверхности. Если главные напряжения σ₁, σ_2, σ₃ положительны и имеют разные значения, то тензорная поверхность – эллипсоид. Его полуосями являются отрезки , , , отсеченные на главных осях тензорной поверхностью (рис. 2.12 а):

а) б)

Рисунок 2.12 − Эллипсоид напряжений

Если два главных напряжения равны – то тензорная поверхность будет эллипсоидом вращения. В частном случае всестороннего растяжения, когда на элементарный объем со всех сторон воздействуют только σ_о, являющиеся одновременно и главными напряжениями, эллипсоид напряжений превращается в шар (рис. 2.12 б). Поэтому тензор, все компоненты которого равны σ_о, называется шаровым.

Название «девиатор» происходит от латинского «devio», что оз-

начает «отклонение» (в данном случае – от напряженного состояния всестороннего растяжения или сжатия).

Первый инвариант σ_оо совпадает с первым инвариантом σ_ij:

I₁ (σ_оо ) = σ_о + σ_о + σ_о = 3 σ_о = I_i (σ_ij)

Первый инвариант девиатора напряжений тождественно равен 0.

Второй инвариант девиатора напряжений часто используется в приложениях:

I₂(S_ij) = 1/6 [(σ_х – σ_y)² + (σ_у – σ_z)² + (σ_z – σ_x)² +6 (τ_хy²+τ_yz² + τ_zx²)] ( 2.38)