2.15 Уравнения равновесия

Конечной целью статики сплошной среды является определение поля напряжений в исследуемой области, т.е. значений σ_ij в каждой ее точке. Для этого нужно знать напряжения на границах области и иметь уравнения, которые бы описывали изменения поля напряжений от точки к точке. Чтобы такое описание было неограничено точным, эти уравнения должны быть дифференциальными. Получить такие уравне-ния можно из уравнения 2-го закона Ньютона для сплошной среды (2.3):

Левую часть (2.3) можно преобразовать следующим образом:

(2.44)

Как будет показано при выводе уравнения неразрывности, в переменных Эйлера полная производная по времени как плотности, так и скорости, состоит из суммы локальной и конвективной производных:

,

где первые слагаемые в правой части являются локальными, а вторые – конвективными производными. Поэтому правая часть (2.44) может быть представлена в виде:

,

Если принять, что масса конечного объема w сплошной среды не

изменяется со временем (закон сохранения массы), то:

Следовательно:

Учитывая, что по соотношениям Коши и используя

теорему Остроградского–Гаусса, первое слагаемое правой части (2.3)

представим следующим образом:

Тогда:

или:

(2.45)

Поскольку объем w был взят произвольно, то для равенства ну-лю (2.45) должно быть равно нулю подинтегральное выражение:

(2.46)

Уравнение (2.46) является дифференциальной формой закона сохранения импульса для сплошной среды и пригодно для описания любых, в т.ч. и динамических процессов.

В квазистатических процессах пренебрежимо мало. По-этому :

В тензорных обозначениях, учитывая, что = σ_ij :

В развернутом виде получаем уравнения равновесия элементар-ного объема сплошной среды в декартовых координатах:

(2.47)

В процессах ОМД массовые силы пренебрежимо малы. Отсюда:

(2.48)

Такой вид уравнения равновесия имеют только в декартовой системе координаи.