7.12 Основные краевые задачи в млс*

Задача о внедрении штампа решалась при помощи простых СЛС. Такие сетки довольно часто использовались при анализе различных процессов ОМД (см.,например, [42]). При этом приходилось идеализировать процессы, спрямляя криволинейные границы и вводя предположения о равномерном распределении контактных напряжений.

В общем случае для решения задач плоской деформации МЛС можно использовать конечно-разностные соотношения, вытекающие из (7.21) и свойств ЛС. Это приводит к трем основным краевым задачам: начальной характеристической, задаче о начальных значениях и смешанной задаче.

Начальная характеристическая задача, или задача Римана, возникает, когда заданы отрезки ЛС ОА и ОВ, на которых величины σ₀ и θ известны. Тогда можно определить σ₀ и θ в криволинейном четырехугольнике ОАСВ, ограниченном четырьмя ЛС (рис.7. 29).

Для численного решения задачи линии ОА и ОВ разбиваются на достаточно малые части точками 1,0; 2,0 ... m,0 и 0,1; 0,2 ... 0,n. Пересечения ЛС, проходящих через узлы сетки, обозначаются m,n. Имеется ввиду аналитическое «разбиение», когда задаются координаты узлов и точек, хотя то же можно делать и графически.

Если СЛС уже построена, то по 1-й теореме Генки величина σ₀ в произвольном узле m,n области ОАСВ равна:

, (7.26)

причем

Рисунок 7.29 − Задача Римана

(7.27)

Для построения СЛС численным методом необходимо определить координаты узлов m,n по координатам узлов m-1,n и m,n-1 и по углам θ. Для этого необходимо иметь уравнения ЛС. Т.к. бесконечномалые отрезки любой кривой можно заменить такими же отрезками ка-сательной к ней, то дифференциальные уравнения ЛС, в соответствии с принятыми обозначениями (см. рис. 7.16), имеют следующий вид:

для семейства а

для семейства b

В конечно-разностном виде они будут выглядеть так (полагаем, что угол наклона хорд, заменяющих малые дуги, равен среднему значению углов наклона в крайних точках):

(7.28)

Следовательно:

(7.29)

Начиная с узла 1,1, по уравнениям (7.29) можно найти координаты узлов во всей области ОАСВ. Величины σ₀ и θ находятся по (7.26) и (7.27).

Важное значение имеет вырожденный случай, когда одна из ЛС (ОВ или ОА) стянута в точку и в узле О сходятся все ЛС семейства а или b (рис.7.30).

Рисунок 7.30 − Вырождекнный случай задачи Римана

Известны σ₀ и θ на ОА и угол АОС в вершине О. Точка О является особой, в ней величина σ₀ терпит разрыв. Поэтому точка О исключается из рассмотрения проведением из точки 1,0 ЛС b₁ в виде дуги окружности. Угол АОС делится на достаточно малые части и проводятся начальные участки линий скольжения 0,1; 0,2 ... 0,n . Таким образом становятся известными углы θ в точках ЛС b₁. По величинам

и для узла 1,0 линии ОА находим параметр λ для ЛС b₁:

Далее находим σ₀ в i-тых узлах линии скольжения b₁:

Так вырожденный случай сводится к основному.

Задача о начальных значениях называется еще задачей Коши и формулируется следующим образом: на гладкой линии, не совпадающей с ЛС и пересекаемой каждой ЛС только один раз (обычно это часть контура исследуемой области), заданы σ₀ и θ, непрерывные вместе со своими вторыми производными. Тогда можно найти σ₀ и θ в криволинейном треугольнике АВС, сторонами которого являются линия АВ и линии скольжения АС и ВС (рис.7.31).

Дуга АВ разбивается на достаточно малые части точками 1,1; 2,2

... m,m; m+1,m+1. Через точки m,m; m+1,m+1 проводим ЛС семейств а и b с точкой их пересечения m,m+1. Из условия постоянства пара-метров ζ и λ на ЛС а и b получим:

(7.30)

Рисунок 7.31 − Задача Коши

Решая систему уравнений (7.30), находим и . Координаты узлов определяются при помощи уравнений (7.29). Дальнейшее решение идет по схеме начальной характеристической задачи.

Смешанная задача возникает, когда на отрезке ЛС, например ОА, известны σ₀ и θ, а на некоторой линии, не являющейся ЛС, известен угол θ, под которым к ней подходят ЛС семейства а. В таком случае решение определено в криволинейном треугольнике, ограниченном ЛС

ОА и АВ и линией ОВ (рис. 7.32).

Возможны два случая:

1) Угол θ точке О на ЛС ОА и линии ОВ одинаковы. Тогда разбиваем ОА на достаточно малые части точками 1,0; 2,0 ... m,0. Проводим из точки 1,0 перпендикуляр к ЛС ОА до пересечения в точке с^' с линией ОВ. Т.к. значения θ на ОВ известны, то можно найти θ в точке с^' . Затем находим среднее значение θ_ср в точках 1,0 и с^' и из точки 1,0 про-водим линию, наклоненную к оси X под углом θ_ср.

Рисунок 7.32 − Смешанная задача

Восстанавливаем перпендикуляр к этой линии в точке 1,0 до пересечения с ОВ в точке с''. Подобные построения повторяются до тех пор, пока различие в предыдущем и последующем положениях точки с не станут достаточно малыми. В результате находим положение точки 1,1. Затем по (7.23) находим параметр λ для линии скольжения семейства b, проходящей через точки 1,0 и 1,1:

Далее можно найти σ₀ в точке 1,1:

Величины σ₀ и θ в узле 2,1 и последующих находятся как в начальной характеристической задаче. Положение точки 2,2 и находятся, как и 1,1. Так, начиная с точки 1,1, постепенно решается смешанная задача в первом случае.

2) Углы θ на линиях ОВ и ОА не равны между собой, например θ_ОВ >

θ_ОА (рис.7.33):

Рисунок 7.33 − Второй случай смешанной задачи

Тогда область АОВ разбивается на две части: АОА' и А'ОВ так, чтобы угол θ в точке О на линиях ОВ и ОА' был одинаковым. Для области АОА' будет иметь место вырожденная задача Римана, а в А'ОВ – первый случай смешанной задачи. Комбинациями из трех рассмотренных краевых задач может быть построена любая СЛС, если известн ы СГУ.