7.10 Статические граничные условия в млс

Для определения параметров ζ и λ по формулам (7.23) нужно знать значения σ₀ и θ на контуре рассматриваемой области. Поэтому необходимо найти зависимости между известными при СГУ нормальным σ_n и касательным τ_к контактными напряжениями и σ₀ и θ в тех же точках контура.

Пусть на контуре S заданы σ_n и τ_к , причем (рис.7.26):

Рисунок 7.26 − К определению СГУ в МЛС

Выделим произвольную точку М контура S и проведем через нее нормаль к контуру. Угол между нормалью и осью x обозначим ψ. Перейдем в точке М к локальной системе координат x'y', совпадающей с нормалью и касательной к контуру в точке М. Угол наклона ЛС семейства а к оси x' будет равен θ' = θ - ψ , где θ – угол наклона этой же ЛС к оси x. Тогда по (7.20) в системе координат x'y':

Отсюда имеем:

Решая эти уравнения относительно σ₀ и θ, находим:

, (7.25)

где знаки следуют из четности функции cos. Знак решения выбирает-

ся из условий задачи.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Касательные напряжения на контуре отсутствуют (τ_к= 0):

Линии скольжения подходят к контуру под углом 45⁰.

2. Касательные напряжения на контуре максимальны (τ_к= k):

Линии скольжения подходят к контуру под углами 0⁰ и 90⁰.

3. На контуре σ_n и τ_к равны нулю (свободная поверхность):

Линии скольжения подходят к контуру под углом 45⁰, а среднее нор-

мальное напряжение равно пластической постоянной (имеется ввиду пластическая область).