7.7 Метод линий скольжения

Решение задач теории пластичности в общем случае связано с интегрированием нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Получить такие решения можно только численными методами. Поэтому раньше, когда компьютеров не было или они были малодоступными, разрабатывались различные приближенные методы, которые позволяли инженерам решать задачи простейшими средствами. Одним из них является метод линий скольжения (МЛС). Он позволяет достаточно эффективно решать двухмерные задачи плоской деформации и полезен даже в наше время, особенно в тех случаях, когда учет реологических свойств деформируемого металла не нужен. В от-личие от других приближенных методов, типа энергетических, МЛС не огрубляет задачу произвольно выбираемыми полями скоростей и т.п. и в этом отношении он является настолько «точным», насколько точно решаются его уравнения и насколько близка рассматриваемая задача к ПДС. Вообще говоря МЛС – это метод решения любых задач плоской деформации, не только ОМД, при постоянных реологических свойствах среды. Поэтому он и относится не к теории ОМД, а к теории пластичности и рассматривается в данном курсе. Существенный недостаток МЛС– предел текучести металла должен быть постоянным по очагу деформации, хотя разработаны способы смягчения этой проблемы разбиением очага деформации на участки с разными значенсопротивления деформации .

Название метода связано со следующим. При растяжении полированных образцов за пределами упругости на их поверхности появляются т.н. линии Чернова-Людерса, наклоненные под углом к продольной оси образца (рис.7.15):

Рисунок 7.15 − Линии Чернова-Людерса

Поскольку при растяжении также наклонены под углом 45⁰

к оси образца, то линии Чернова-Людерса являются следами выхода на

поверхность площадок скольжения. Поэтому эти линии называются линиями скольжения (ЛС).

Линии, которые всеми своими точками касаются площадок максимальных касательных напряжений, называются линиями скольжения.

Т.о. линии скольжения – это траектории максимальных касательных напряжений.

При ПДС имеется два ортогональных семейства линий скольжения, лежащих в плоскости XOY и образующих сетку линий скольжения (СЛС). Сетка ортогональна из-за ортогональности площадок . Последние же ортогональны только при симметричном тензоре напряжений. Т.к. симметричен только приближенно, то в той же степени будут приближенными и все последующие рассуждения.

Обозначим линии скольжения одного семейства через a, а друго-

го - через b. СЛС может быть полностью описана одной функцией- углом наклона θ(x,y) касательной к линии скольжения семейства а в каждой точке (x,y) области, поскольку угол наклона касательной к линии скольжения семейства b в тех же точках будет равен

(рис.7.16):

Рисунок 7.16 − Сетка линий скольжения

Выделенный линиями скольжения элементарный объем испыты-вает одинаковое растяжение (или сжатие) в направлениях линий сколь-жения и искажается (рис. 7.17):

Рисунок 7.17 − Элементарный объем в МЛС

Чтобы уменьшить число искомых функций, выразим

через и угол следующим образом. Воспользовавшись (2.30), вы-

разим и через главные напряжения (рис.7.18):

Рисунок 7.18 − К выражению и через главные напряжения

Складывая и вычитая эти уравнения, соответственно получим:

Решая эту систему, получим:

(7.19)

Последнее уравнение системы (7.19) получили из (7.10) с использованием первых двух уравнений (7.19). Поскольку:

и

при использовании условия Губера-Мизеса, и учитывая, что площадки делят пополам углы между главными площадками (см. п. 2.11), в результате чего . Поэтому:

(7.20)

где k – предел текучести при сдвиге; k = .

Если подставить (7.20) в условие Губера-Мизеса, то получим тождество. Подставив (7.20) в уравнения равновесия для ПДС (7.6), получим уравнения М.Леви для определения функций и :

(7.21)

По типу уравнения (7.21) относятся к гиперболическим и квазилинейным, т.к. в качестве коэффициентов при производных искомой функции стоят сами искомые функции. Как и все гиперболические уравнения, (7.21) решаются методом характеристик [42]. Но замечательной особенностью этих уравнений является то, что их характеристики совпадают с траекториями максимальных касательных напряжений, т.е. с линиями скольжения. Поэтому построив СЛС данной задачи, будем иметь и характеристики, являющиеся её решением. Этим и объясняется название метода – МЛС.

Если при дифференцировании (7.20) k не будет константой, то столь простые уравнения, как (7.21), не получаются. Вот почему МЛС пригоден только при постоянных механических свойствах металла в очаге деформации.

Если в качестве осей системы координат взять касательные к ЛС в каждой точке, то углы θ в таких локальных системах координат (рис.7.19) будут равны нулю и уравнения (7.21) существенно упрос-тятся.

Рисунок 7.19 − Локальная система координат

(7.22)

где - касательные к ЛС семейства а и b соответственно.

Зависимости (7.22) являются дифференциальными уравнениями

равновесия элемента, выделенного ЛС. Интегрируя их, получим т.н. интегралы Генки:

(7.23)

где - постоянные вдоль ЛС семейств а и b параметры. При перехо-де от одной ЛС семейства a(b) к другой параметр ζ (λ) изменяется. Решая систему (7.23) относительно и , получим:

(7.24)

Формулы (7.24) позволяют по известным величинам ζ и λ находить и θ, а затем по (7.20) – компоненты . В этом и состоит идея МЛС.