7.5 Особенности плоского деформированного состояния

Будем считать среду идеально-жесткопластической. Тогда по теории течения:

Отсюда следует, что . Используя (2.36), находим: (7.5)

Подставив это в условие (6.8), получим (7.4). Поскольку напряжения не зависят от координаты z, то уравнения равновесия упрощаются:

(7.6)

Следовательно, для определения трех неизвестных имеем три уравнения (два равновесия и одно – условие пластичности). Поэтому формально задача для напряжений плоской деформации считается статически определимой. Фактически это не так, поскольку границы пластической области не определены и чтобы их найти, следует использовать (7.4).

Кинематические уравнения по теории течения находятся следующим образом. Для плоской деформации (6.17) приобретают вид:

(7.7)

Вычтя из и разделив на , получим:

(7.8)

Выразив скорости деформаций через скорости течения по (3.43) и добавив уравнение несжимаемости (4.3) в форме для плоской задачи, получим уравнения для скоростей плоского деформированного состояния (7.9):

(7.9)

Уравнения (7.7) не могут быть использованы, т.к. они требуют граничных условий в виде скоростей деформаций, которые не поддаются измерению, тогда как скорости течения являются величинами измеримыми.

В результате совместно с (7.4) и (7.6) имеем систему из 5 уравнений для 5 неизвестных функций: , . При смешанных граничных условиях необходимо совместное решение этой системы. Если же известны статические граничные условия и границы пластической области, то возможно вначале найти поле напряжений при помощи (7.4) и (7.6), а затем поле скоростей по (7.9).

Напряженное состояние при плоской деформации обладает следующей особенностью. Поскольку является главным напряжением, то, сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси z (рис.7.8), является главной площадкой. Положение двух других главных площадок, параллельных оси z, можно найти по формуле, следующей из (2.24):

, (7.10)

где - угол между главной осью 1 и осью x (рис.7.9).

Т.о. при ПДС не нужно решать систему уравнений для опре-деления направления главных напряжений; оно находится по простой формуле.

Рисунок 7.8 − Положение главных площадок при ПДС

Столь же просто можно найти и величину главных напряжений, используя (2.21) и (7.5):

(7.11)

Знак (+) определяет , а знак (-) - . Напряжение = .

Из (7.11) следует, что наибольшее касательное напряжение:

(7.12)

Поэтому . Следовательно, напряженное состояние при ПДС есть сумма чистого сдвига с касательным напряжением и всестороннего растяжения или сжатия со

средним нормальным напряжением .

Тот факт, что напряженное состояние при ПДС можно предста-

вить как сумму двух простейших напряженных состояний (рис.7.9), позволяет решать задачи плоской деформации сравнительно простыми методами.

Рисунок 7.9 − ПДС как сумма двух НДС