1.5 Элементарный объем

Формализация, т.е. численное описание движения производится при помощи системы координат. С ее помощью устанавливается взаимно-однозначное соответствие между точками пространства и набо-рами чисел (количество которых в наборе зависит от размерности про-странства n). Для трехмерного физического пространства каждой точке ставится в соответствие три числа – x, y, z, которые называются ее координатами. В дальнейшем будем пользоваться также сокращенной, тензорной формой записи переменных, подразумевающей перечисле-ние по индексу. Например, координаты трехмерного пространства можно записать в виде x_i, где i = 1, 2, 3. Имеются ввиду три числа x₁,x₂,x₃, соответствующие x, y, z. В тех случаях, когда пределы изменения индексов очевидны, они не указываются.

Известны различные системы координат и выбор той или иной зависит от особенностей решаемой задачи, т.к. удачным выбором системы координат математическое описание задачи может быть существенно упрощено.

Линии, вдоль которых две какие-либо координаты сохраняют свое значение, называются координатными линиями.

Например, линия, вдоль которой x = const, y = const, определяет линию, параллельную координате z.

Если координатные линии прямые – то это прямолинейная система координат (прямоугольная или косоугольная). Если кривые − то криволинейная (рис.1.2). Координаты в криволинейных системах принято обозначать греческими буквами, например, ζ_i (дзета). Криволи-

нейные системы могут быть ортогональными и неортогональными.

Поверхности (в прямолинейных координатах – плоскости), на

которых одна координата сохраняет постоянное значение, назы-

ваются координатными поверхностями.

Рисунок 1.2 − Виды систем коородинат

В МСС объектами изучения являются частицы сплошной среды

т.к. движение ее состоит в изменении их формы и взаимного расположения. Но, в отличие от теоретической механики, эти частицы нельзя отождествлять с точками, хотя для обеспечения высокой точности описания движения они должны быть очень малыми (в пределе – бесконечно малыми). Кроме того, частицы должны иметь форму, обеспечивающую их плотную упаковку в рассматриваемом объеме сплошной среды, т.е. чтобы из них без возникновения промежутков можно было бы составить рассматриваемый объем. Этим требованиям отвечают элементарные объемы, на которые мысленно разбивается сплошная среда.

Элементарный объем – часть сплошной среды, выделенная n парами координатных поверхностей (где n – размерность прост-ранства), отстоящими друг от друга на бесконечно малых расстояниях.

В прямоугольной декартовой системе координат элементарным

объемом будет куб (рис.1.3а), в косоугольной декартовой – косоуголь-ный параллелепипед (рис.1.3б). В общем случае неортогональной кри-волинейной системы элементарный объем будет иметь вид, показан-ный на рисунке 1.3в):

а) б) в)

Рисунок 1.3 − Элементарные объемы

Точка, к которой стремятся все грани элементарного объема при их уменьшении до бесконечности, определяет его положение в пространстве.

Элементарные объемы образуют совокупности, которые имеют свои названия.

Совокупность элементарных объемов, располагающихся вдоль некоторой линии, называется волокном.

Совокупность элементарных объемов, располагающихся на некоторой поверхности, называется слоем.

Совокупность элементарных объемов, располагающихся в некоторой части пространства, называется телом.

Т.о. следует различать геометрические объекты – точки, линии,

поверхности и объемы от физических – элементарных объемов, воло-кон, слоев и тел.