logo search
МСС

5.9 Плоское деформированное состояние*

Если при деформировании тела его перемещения в плоскости, перпендикулярной плоскости действия сил, ограничены или же тело имеет один размер намного больше двух других и нагружено системой сил, не изменяющихся по большому размеру, то имеет место плоское деформированное состояние (ПДС), которое довольно часто встречается при решении задач теории упругости. Характерной особенностью этого вида напряженно-деформированного состояния является отсутствие депланации (искривления) сечений в плоскости, нормальной продольной оси большего размера тела. На рисунке 5.4 показаны примеры ПДС:

Рисунок 5.4 − Плоское деформированное состояние

Перемещения uz в этом случае равны нулю (и εz = 0 также), деформации γyz = γzx = 0 из-за невозможности депланации сечений, параллельных плоскости ХОУ, и деформация поэтому называется плоской. Однако напряженное состояние будет объемным, т.к. σz ≠ 0, чтобы εz = 0, а также τyz = τzx = 0, чтобы не было депланаций.

Тензоры напряжений и деформаций при ПДС:

; (5.28)

Напряжение σz определяется из условия:

,

откуда (5.29)

Уравнение равновесия и совместности деформаций, как при ПНС. Уравнение обобщенного закона Гука изменяют свой вид:

(5.30)

Для решения задач ПДС в перемещениях имеется 2 уравнения относительно uх и uу:

(5.31)

Очевидно, что от соотвествующих уравнений ПНС (5.24) они отличаются только константами λ и λ1. Поэтому решения, полученные для ПНС, являются одновременно и решениями для ПДС при соответствующем изменении постоянных.

При отсутствии объемных сил (или их постоянстве), уравнения ПДС в напряжениях ничем не отличаются от аналогичных уравнений (5.27) для ПНС. Важно отметить тот факт, что в этом случае уравнения плоской задачи не содержит упругих констант материала. Это означает, что равновесие не зависит от модулей упругости и полностью определяется формой тела и характером его нагружения. Это используется для экспериментального определения полей напряжений и деформаций методом фотоупругости, когда модель из оптически активного материала (типа целлулоида) заменяет металлическую натуру [12].