3.14 Условия совместности деформаций

Компоненты тензора малых деформаций, выраженные через компоненты тензора относительных смещений, называются дифференциальными зависимостями Коши (не путать с соотношениями Коши):

(3.35)

Они позволяют по известным компонентам дифференцированием находить компоненты малой деформации. Чаще, однако, возникает обратная задача: по компонентам ε_ij найти компоненты u_i . Решить ее, используя только (3.35) невозможно, т.к. система уравнений переопределена: для 3-х компонент u_i имеется девять формул. Чтобы решение стало возможным, нужно устранить переопределенность системы (3.35), наложив на компоненты ε_ij шесть ограничивающих условий таких, чтобы результаты интегрирования соотношений Коши не зависели от пути интегрирования. Геометрически это означает, что компоненты деформируемого тела должны быть связаны между собой таким образом, чтобы после деформации из этих элементарных объемов мож-но было сложить сдеформированное тело без разрывов и наложений частиц друг на друга (рис.3.15).

→ ↓

←

Рисунок 3.15 − К условию неразрывности

Чтобы получить указанные соотношения, продифференцируем

первые два уравнения системы (3.35) дважды по противоположным

индексам:

Складывая их почленно, получим:

+ .

Это – уравнение совместности деформаций в плоскости ХОУ. Аналогично получаются уравнения совместности в плоскостях УОZ и ZОХ.

Чтобы получить уравнения совместности в разных плоскостях, продифференцируем 4, 5 и 6-е уравнения (3.35):

Сложив два последних соотношения и вычтя первое, продифферен-ировав полученное по и учтя, что:

,

получим:

Аналогично находятся еще два уравнения. В итоге имеем систему 6 уравнений, называемую условиями совместности деформаций или уравнениями Сен-Венана, гарантирующими получение непрерывного тела после деформации в соответствии с принципом сплошности. Из них следует, что каждые две линейные деформации определяют соот-

ветствующую угловую, а каждые три угловые – одну линейную:

(3.36)

.

Уравнения Сен-Венана являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости соотношений (3.35) только в случае односвязной области. Если область многосвязна, например двухсвязна (рис. 3.16), то (3.36) являются только необходимыми условиями.

Рисунок 3.16 − Превращение двухсвязной области в односвязную

Для достаточности их нужно дополнить условием равенства сме-

щений по обе стороны разреза АВ, превращающего данную двухсвязную область в две одно связные: .

В общем случае, когда кроме удлинений и сдвигов имеются также искривления граней, последние должны учитываться в условиях совместности деформаций.