3.20 Вторая теорема Гельмгольца*

Из первой теоремы Гельмгольца следует, что элементарный объем деформируемой среды поворачивается как жесткое тело вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с направлением век-тора , а угловая скорость его . Вектор можно представить как угловую скорость воображаемого твердого тела, которое образовалось бы при мгновенном затвердевании рассматриваемого деформируемого элементарного объема. Векторные линии поля угловых скоростей будут давать его наглядное изображение. Они называются вихревыми линиями. В каждой точке векторного поля касательная к вихревой линии совпадает с направлением ротора этого поля.

Проведем в поле некоторый контур L( рис. 3.19).

Рисунок 3.19 − Вихревая трубка

Через все его точки будут проходить вихревые линии, образующие вихревую трубку. Если контур бесконечно мал, трубка называется элементарной. В противном случае – конечной.

Известна вторая теорема Гельмгольца: поток вектора ротора поля сквозь произвольное сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени вдоль всей трубки.

Для доказательства теоремы рассмотрим произвольный объем W трубки, ограниченный произвольными поверхностями S₁ и S₂ и боковой поверхностью S₃ (рис.3.20).

Рисунок 3.20 − К доказательству 2-й теоремы Гельгольца

По теореме Остроградского–Гаусса:

(3.45)

где (или любого иного векторного поля).

Разобьем поверхностный интеграл на сумму 3-х интегралов:

Последний интеграл равен нулю, т.к. вектор ортогонален . Равен нулю и интеграл в правой части (3.45). Заметим, что нормали на поверхностях S₁ и S₂ обратны по отношению друг к другу. Поэтому:

что и требовалось доказать.

Применяя 2-ю теорему Гельмгольца к элементарным вихревым трубкам, можем взять поверхности S₁ и S₂ плоскими и ортогональными к поверхности трубки. Тогда с точностью до бесконечно малых высших порядков будем иметь: W₁S₁ = W₂ S₂. Из этого следует, что сечение трубки не может стать равным нулю, т.к. это привело бы к возрастанию до бесконечности ротора поля (в частности, угловой скорости частиц жидкости). Отсюда следует известный опытный факт: вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости. Они или образуют замкнутые кольца, или опираются на стенки сосуда или сво-бодные поверхности жидкости.

Контрольные вопросы к гл. "Кинематика сплошной среды"

1. Что изучает кинематика сплошной среды?

2. Что называется вектором смещения?

3. При каком условии вектор смещения может описывать деформацию сплошной среды?

4. Что называется абсолютной деформацией?

5. Чем относительная деформация отличается от логарифмической?

6. Какие деформации считаются малыми?

7. В чем состоит свойство аддитивности показателя деформации?

8. Что характеризует изменение в пространстве поля смещений?

9. Из каких составляющих складывается движение сплошной среды?

10.Что называется тензором вращений?

11.Что называется деформированным состоянием в точке?

12.Чем является тензор малых деформаций? Как выглядти его матри- ца?

13.Каков геометрический смысл компонент тензора малых деформа- ций?

14.Сформулировать правило индексов для деформаций.

15.Каково правило знаков для деформаций?

16.Что называется взаимностью сдвигов?

17.Чем тензоры Альманси и Грина отличаются от тензора малых де- формаций?

18.Как найти полную, линейную и угловую деформации в произволь-ном направлении?

19.Чему равно относительное изменение объема сплошной среды?

20.Какой вид имеет условие несжимаемости при постоянной плотнос- ти сплошной среды?

21. Что называется средней линейной деформацией?

22.Что описывают шаровой тензор и девиатор деформации и как они выглядят?

23.Каковы свойства главных деформаций?

24.Правило индексов для главных деформаций.

25.По каким площадкам имеют место максимальные сдвиги?

26.Чему равна величина максимальных сдвигов?

27.Какие деформации называются октаэдрическими?

28.Чему равна линейная октаэдрическая деформация?

29.Что называется интенсивностями деформаций?

30.Зачем нужны условия совместности деформаций?

31.Что называется скоростью течения сплошной среды?

32.Что называется линией тока?

33.Почему траектории и линии тока совпадают только у стационарных полей?

34.Что называется поверхностью тока, трубкой тока, сечением трубки тока?

35.Почему трубки тока непроницаемы?

36.Как формулируется первая теорема Гельмгольца?

37.Что называется тензором скоростей деформаций?

38.Каков физический смысл компонент тензора скоростей деформа-ций?

39.Каковы свойства тензора скоростей деформаций?

40.Совпадает ли направление главных осей тензора скоростей дефор-маций с главными осями тензора напряжений?

41.Чему равны интенсивности скоростей деформаций?

42.Что описывает девиатор скоростей деформаций?

43.По каким площадкам скорости сдвигов максимальны?

44.Что представляют собой октаэдрические скорости деформаций?

45.Как выглядят условия совместности скоростей деформаций?