МСС

3.15 Определение перемещений по деформациям*

При решении задач, в конечном итоге, важно находить не столько деформации, сколько смещения, т.к. именно они описывают форму тела после деформации. Уравнения Сен-Венана определяют только условия интегрируемости зависимостей Коши. Величины компонент дает формула Чезаро [13]. Однако ввиду громоздкости подинтегральных функций она обычно не используется, т.к. значительно проще смещния находятся по компонентам тензора относительных смещений.

Из (3.35) известны три диагональных компоненты тензора (3.3):

; ; .

Остальные компоненты (при i ≠ j ) находятся как функции по их полным дифференциалам в зависимости от известных компонент ε_ij .

Известно, что:

Дифференцируя по x_к получим:

Кроме того известно, что:

, а

Дифференцируя по x_{к ,}имеем:

Из этого получим:

Эта формула определяет все производные компонент тензора относительных смещений через производные известных компонент тензора деформации, удовлетворяющих условиям совместности (3.36).

Тогда:

(3.37)

где M₀ – начало пути интегрирования, а – значение произ- водной в точке M₀_.Например:

В последнем выражении компоненты ε_ijпри обозначены как . Если условия совместности выполняются, то интеграл (3.37) не зависит от пути интегрирования M₀M. Удобнее всего интегрировать по ломаной линии, не выходящей за пределы области интегрирования, звенья которой параллельны осям координат. Совмещая точку M₀ с началом координат, имеем:

(3.38)

Вычислив недиагональные компоненты тензора относительных смещений по (3.38) и учитывая известные диагональные его компоненты, можно находить перемещения произвольной точки M как функции по их полным дифференциалам:

(3.39)

Точку M₀ желательно выбирать такую, которая не имеет жестко-го смещения (например, пересечение осей симметрии деформируемого тела). Тогда и ( u_i)_о будут равны нулю.

Например, смещение элементарных объемов в направлении оси x будет выражаться функцией:

Содержание