3.17 Первая теорема Гельмгольца

Движение элементарного объема сплошной среды в каждый момент времени можно разложить на квазитвердое движение со скоростью _кт , равной сумме поступательной скорости _п какой–либо точки в этом элементарном объеме и вращательной скорости относительно этой точки, соответствующей вектору угловой скорости , и деформационное движение со скоростью V_деф:

.

Для доказательства рассмотрим две бесконечно близкие точки и . Скорость в точке М равна , а в точке N – = . Дифференциал равен производной поля скоростей по векторному аргументу на дифференциал независимой переменной :

Производная называется тензором изменения скоростей:

Разлагая этот тензор на симметричную и антисимметричную части, получим:

(3.42)

Симметричная часть (3.42) называется деформацией векторного поля и является тензором скоростей деформаций. Антисимметричная называется тензором вращений и эквивалентна вектору Отсюда:

,

что и требовалось доказать.