Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме.

1. Умножений. Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме: z₁ = r₁(cos₁ + isin₁) z₂ = r₂(cos₂ + isin₂).

z₁z₂ = r₁r₂(cos₁cos₂ – sin₁sin₂) + i(cos₁sin₂ + sin₁cos₂) = = r₁r₂(cos(₁ + ₂) + isin(₁ + ₂)).

Итак, модуль |z₁z₂| = r₁r₂, аргумент arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂.

Пример 1.13. Для z₁ = 2(cos + isin) и z₂ = 3(cos + isin) найти их произведение z₁z₂.

Решение. Применяем формулу для нахождения произведения двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. z₁z₂ = 23(cos( + ) + isin( + )) = 6(cos + isin) – тригонометрическая форма произведения чисел z₁ и z₂ или в алгебраической форме z₁z₂ = 6i.

2. Деление. ===

= =

= ( cos(₁ – ₂) + isin(₁ – ₂))

Итак, модуль || = , аргумент arg() = arg z₁ – arg z₂.

Пример 1.14. Для z₁ = 10(cos45 + isin45) и z₂ = 5(cos60 + isin60) найти их частное от деления .

Решение.

= (cos(45 – 60) + isin(45 – 60)) = 2(cos(–15) + isin(–15)) – тригонометрическая форма частного чисел z₁ и z₂. Заметим, что если данное выражение записать в виде равносильного выражения 2(cos15 – isin15), то это не будет уже тригонометрической формой записи комплексного числа.