9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора

1. Найти собственные значения линейного оператора как собственные значения его матрицы

2. Для каждого из найденных собственных значений ₀ находим собственные векторы, решая однородную систему линейных уравнений () с основной матрицей M() – λ₀E.

3. Множество равно линейной оболочке фундаментального набора решений этой системы за исключением нулевого вектора.

Пример 9.7. Найти собственные векторы линейного оператора с матрицей M() = .

Решение. Находим собственные значения матрицы линейного оператора, для чего решаем уравнение |M() – λE| = 0.

= (2–)(–1)^3 + 3 = (2 – )((–)(4 – ) – (–4)) = 

= (2 – )(² – 4 + 4) = (2 – )( – 2)² = (2 – )³ = 0  ₁ = ₂ = ₃ = 2.

Итак, получили f(λ) = (2 – )³ – характеристический многочлен матрицы M(); (2 – )³ = 0 – характеристическое уравнение матрицы M(); ₁ = ₂ = ₃ = 2 – собственные значения матрицы M(), т. е. это собственные значения линейного оператора .

Собственное значение у этого линейного оператора только одно, поэтому решаем только одну однородную систему линейных уравнений с матрицей .

.

Выпишем общее решение этой системы х₁ = (х₂ + 0х₃) и составим фундаментальный набор решений

с₁ = (1, 2, 0), с₂ = (0, 0, 1).

Ответ. Множество собственных векторов с собственным значением λ = 2 это множество L = L(с₁, с₂)\{o} = {k₁c₁ + k₂c₂, }.