9.6. Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор  называется обратимым, если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство ψ = ψ = , где  – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейный оператор  обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора .

В этом случае оператор, обратный для оператора , обозначается ^–1.

Теорема 9.11. Линейный оператор  обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(), при этом M(^–1) = (M())^–1.

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Пример 9.4 1) Определить, обратим ли линейный оператор , если (x) = (2х₁ – х₂, –4х₁ + 2х₂).

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M() = . Так как  = 0 то матрица M() необратима, а значит, необратим и линейный оператор .

2) Найти линейный оператор, обратный оператору , если (x) = (2х₁ + х₂, 3х₁ + 2х₂).

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M() = , обратима, так как |M()| ≠ 0. (M())^–1 = , поэтому ^–1 = (2х₁ – х₂, –3х₁ + 2х₂).