2.4. Функции

Определение 2.20. Бинарное отношение ƒ Í A ´ B называется функцией из множества A в множество B, если для любого x Î A существует единственный элемент y Î B такой, что (x, y) Î ƒ. При этом элемент y обозначается через ƒ(x) и называется значением функции ƒ для аргумента x. Функция f из A в B обозначается через ƒ: A → B или A  B. Если (x, y) Î ƒ, то используется общепринятая запись y = ƒ(x), а также запись ƒ: x  y (означает, что функция ƒ ставит в соответствие элементу x элемент y).

Область определения и область значений функции, равные функции определяются так же, как и для бинарных отношений.

Аргументами функции могут являться элементы произвольной природы, в частности, кортежи длины n (x₁, x₂, …, x_n). Функцию ƒ: Aⁿ → B называют n-местной функцией из A в B. Тогда пишут y = ƒ(x₁, x₂, …, x_n) и говорят, что y есть значение функции ƒ при значении аргументов x₁, x₂, …, x_n.

Функции называются также отображениями. Пусть ƒ – функция из A в B. Если A = Domƒ и Imƒ Í B, то говорят, что ƒ есть отображение множества A в множество B. Если A = Domƒ и B = Imƒ, то говорят, что ƒ есть отображение множества A на множество B.

Определение 2.21. Функция ƒ Í A ´ B называется инъективной, или инъекцией, если " x, y Î A, ƒ(x) = ƒ(y) Þ x = y.

Определение 2.22. Функция ƒ Í A ´ B называется сюръективной, или сюръекцией, если для каждого элемента y Î B существует хотя бы один элемент x Î A такой, что y = ƒ(x).

Заметим, что сюръективная функция ƒ Í A ´ B является отображением A на B.

Определение 2.23. Функция ƒ Í A ´ B называется биективной (биекцией) или взаимно однозначным соответствием между множествами A и B, если она одновременно инъективна и сюръективна.

Определение 2.24. Если соответствие, обратное к функции ƒ Í A ´ B, является функциональным и полностью определенным, то оно называется функцией, обратной к ƒ и обозначается ƒ^–1.

Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к функции f Í A ´ B, необходимо и достаточно, чтобы Imf = B и каждый элемент y Î Imf имел единственный прообраз.

Утверждение 2.3. Для функции ƒ: A → B существует обратная к ней функция ƒ^–1: B → A тогда и только тогда, когда ƒ – биекция.

Определение 2.25. Пусть даны функции ƒ: A → B и g: B → C. Функция h: A → C называется композицией (суперпозицией) функций f и g, если " x Î A, h(x) = g(f(x)).

Композиция функций f и g обозначается через g _° f, при этом знак _° часто опускается.