3. Разность.

Определение 1.11. Разностью множеств А и В называется множество А \ В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и одновременно не принадлежат множеству В.

Таким образом, по определению 1.11, А \ В = {x  x  А и х  В}. Разность множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.4.

Замечание 1.5. Если B  A, то в этом случае разность А \ В называют дополнением B до A.

Определим частные случаи разности.

Определение 1.12. Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество A  B (или А  В), состоящее из элементов объединения этих множеств, но не входящих в пересечение этих множеств (рис. 1.5).

Таким образом, по определению, A  B = (A  B) \ (A  B) = = (A \ B)  (B \ A) = {x  (x  А и х  В) или (x  B и х  A)}.

Определение 1.13. Дополнением множества А (до универсального множества U) называется множество (или A) равное разности U \ А.

Дополнение множества А до универсального множества U заштриховано и изображено на рис. 1.6.

Таким образом, по определению,  = U \ А = {x  x  U и х  А} или  = {x  х  А}.

Пример 1.5. Пусть A = {m, n, p, k, l}, B = {p, r, s, n}. Найти: A  B, A  B, A \ B, B \ A, A  B.

Решение.

A  B = {m, n, p, k, l, r, s}; A  B = {p, n}; A \ B = {m, k, l}; B \ A = {r, s};

A  B = { m, k, l, r, s}.

Пример 1.6. Пусть A = {х | х Î R, –4  х < 1}, B = {х | х Î R, 0  х  4}. Найти: A  B, A  B, A \ B, B \ A, A  B, ,.

Решение.

A  B = {х | х Î R, –4  х  4};

A  B = {х | х Î R, 0  х < 1};

A \ B = {х | х Î R, –4  х < 0};

B \ A = {х | х Î R, 1  х  4};

A  B = {х | х Î R, –4  х < 0, 1  х  4};

= {х | х Î R, х < –4, х  1};

= {х | х Î R, х < 0, х > 4}.