5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Определение 5.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;

2. прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на произвольное число;

3. вычеркивание нулевой строки.

Замечание 5.3. С помощью преобразований 1 и 2 можно поменять местами любые две строки (столбца) матрицы.

Определение 5.5. Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид: , a_ii  ≠ 0, i = 1, 2, …, r, r  k.

Замечание 5.4. Условие r  k всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Теорема 5.2. Применение к произвольной матрице цепочки элементарных преобразований не меняет ее ранга.

Теорема 5.3. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Теорема 5.4. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Определение 5.6. Первый ненулевой элемент строки называется ее ведущим элементом.

Из этих теорем следует практический способ нахождения ранга матрицы: с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду и определить количество ее ненулевых строк.·

Пример 5.3. Найти ранг матрицы А =  с помощью элементарных преобразований.

Решение. Приводим матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Выберем в 1-ой строке ведущий элемент. Это (–1). В столбце под этим элементом следует получить нули. Для этого к 2-ой строке прибавим 1-ю, умноженную на 2, а к 3-ей строке прибавим 1-ую, умноженную на 3; получим матрицу: . Выбираем ведущий элемент во второй строке и получим нули в столбце под ним: к 3-ей строке прибавим 2-ую, умноженную на (–2), в результате получим следующую матрицу: . Получена матрица ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, следовательно, ранг исходной равен 2, т. е. rang A = 2.