logo
Линейная Алгебра от 2 октября 2013

11.2. Квадратичные формы

Пусть A(x, y) – симметрическая билинейная форма, заданная на векторном пространстве V.

Определение 11.6. Квадратичной формой называется числовая функция одного векторного аргумента x, которая получается из билинейной формы A(x, y) при x = y.

Определение 11.7. Симметрическая билинейная форма A(x, y) называется полярной квадратичной форме A(x, x).

Пусть дана билинейная форма A(x, y) = , положим в ней xi = yj, тогда мы получим представление квадратичной формы A(x, x) в конечномерном векторном пространстве V с заданным базисом {e}:

A(x, x) = . (2)

Определение 11.8. Матрица (aij) называется матрицей квадратичной формы A(x, x) в заданном базисе {e}.

При переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по формуле A(f) = CtA(e)C и ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису.

Определение 11.9. Ранг матрицы квадратичной формы A(x, x) называется рангом квадратичной формы.

Определение 11.10. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства V и вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства V.

Определение 11.11. Квадратичная форма A(x, x) называется

  1. Положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A(x, x) > 0.

  2. Отрицательно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется неравенство A(x, x) < 0.

  3. Знакопеременной, если существуют такие x и y, что A(x, x) > 0 и A(y, y) < 0.

  4. Квазизнакоопределенной, если для всех x, A(x, x) ≥ 0 (или A(x, x) ≤ 0) и имеется вектор x ≠ 0, для которого A(x, x) = 0.

Замечание. Если A(x, y) – билинейная форма, полярная положительно определенной квадратичной форме A(x, x), то A(x, y) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве:

  1. A(x, y) = A(y, x) – в силу симметричности A(x, x).

  2. A(x + y, z) = A(x, z) + A(y, z) – в силу определения билинейной формы.

  3. A(λx, y) = λA(x, y) – в силу определения билинейной формы.

  4. A(x, x) ≥ 0 и A(x, x) > 0 при х ≠ 0, т. к. A(x, x) положительно определена.

Вывод. Скалярное произведение в векторных пространствах может быть задано с помощью билинейной формы:

(x, y) =  = A(x, y).