4.4. Практическое вычисление определителей

Один из способов вычисления определителей порядка выше трех – разложение его по какому-либо столбцу или строке.

Пример 4.4. Вычислить определитель  = .

Решение. Разложим данный определитель по третьей строке:

= а₃₁А₃₁ + а₃₂А₃₂ + а₃₃А₃₃ + а₃₄А₃₄ = 

= 2(–1)^3 + 1М₃₁ ++ 0(–1)^3 + 2М₃₂ + 1(–1)^3 + 3М₃₃ + (–1)(–1)^3 + 4М₃₄ =

= 21 + 0 + 11 + (–1)(–1) =

= 2(9 + 20 + 6 – 30 + 12 + 3) + (9 – 4 – 50 – 2 + 60 + 15) + (9 + 3 + 25 + 1 – – 45 + 15) = 40 + 28 + 8 = 76.

При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств определителей, чтобы в преобразованной матрице получилась строка (столбец), содержащая максимальное число нулей («обнулить» строку), а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу). В ходе преобразований необходимо следить за тем, чтобы значение определителя не менялось.

Пример 4.5. Вычислить определитель четвертого порядка:  = .

Решение. В третьей строке уже есть один ноль. Если к 1-ому столбцу прибавить 3-ий, умноженный на (-4), а ко 2-му столбцу прибавить 3-ий, умноженный на 2, то получим следующий определитель, который разложим по элементам 3-ей строки (теорема Лапласа):

= а₃₃(–1)^3 + 3M₃₃ = 1(–1)^3 + 3.

Полученный определитель можно вычислить по правилу треугольника или продолжить упрощение матрицы с последующим применением теоремы Лапласа. Прибавим к 1-ой строке 2-ую, умноженную на (–4), а к 3-ей строке 2-ую, умноженную на (–6), и получим такой определитель:  = 1(–1)^2 + 3  = –144.