Свойства λ-матрицы

1) С помощью этих преобразований в матрице A(λ) можно переставить любые две строки или любые два столбца.

2) С помощью этих преобразований в диагональной матрице A(λ) можно менять местами диагональные элементы.

Пример 10.2. 1)        .

2)     .

Определение 10.3. Матрицы A(λ) и B(λ) называются эквивалентными, если от A(λ) можно перейти к B(λ) при помощи конечного числа элементарных преобразований.

Задача заключается в том, чтобы по возможности упростить матрицу A(λ).

Определение 10.4. Канонической λ-матрицей называется λ-матрица, обладающая следующими свойствами:

1. матрица A(λ) диагональная;

2. всякий многочлен е_i(), i = 1, 2, …, n нацело делится на е_i–1();

3. старший коэффициент каждого многочлена е_i(), i = 1, 2, …, n равен 1, или этот многочлен равен нулю.

A(λ) = .

Замечание. Если среди многочленов е_i() встречаются нули, то они занимают на главной диагонали последние места (по свойству 2), если есть многочлены нулевой степени, то они равны 1 и занимают на главной диагонали первые места.

Нулевая и единичная матрицы являются каноническими λ-матрицами.

Теорема 10.2. Всякая λ-матрица эквивалентна некоторой канонической λ-матрице (то есть она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду)

Пример 10.3. Привести матрицу A(λ) =  к каноническому виду.

Решение. Ход преобразований аналогичен преобразованиям в методе Гаусса, при этом левый верхний элемент матрицы при приведении ее к каноническому виду отличен от нуля и имеет наименьшую степень.

A(λ) =   (меняем местами первый и второй столбцы)    (к второму столбцу прибавляем первый столбец, умноженный на ( – 2))    (ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на ( – 2))    (меняем местами второй и третий столбцы)    (к третьему столбцу прибавляем второй столбец умноженный на ( – 2)³)     (к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на ( – 2))  .