9.7.2. Характеристический многочлен матрицы

Дана матрица A  Р^nn (или A  R^nn).

Определение 9.14. Характеристическим многочленом матрицы A называется многочлен, зависящий от λ и равный |A – E|, т. е. многочлен f(λ) = |A – E|, где E – единичная матрица таково же порядка что и А.

Пример 9.6. Найти характеристический многочлен матрицы A = .

Решение. Составим определитель матрицы A – E и вычислим его

|A – E| =  =  =

= (2 – λ)(–1)^2 + 2 · = (2 – λ)((1 – )(–1 – ) – 8) =

= (2 – λ)(λ – 3)(λ + 3).

Определение 9.15. Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение |A – E| = 0.

Определение 9.16. Собственными значениями (собственными числами) матрицы A называются корни ее характеристического уравнения.

Найдем собственные значения матрицы из примера 9.6: (2 – λ)(λ – 3)(λ + 3) = 0. Получим: ₁ = 2, ₂ = 3, ₃ = –3.

Теорема 9.12. Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Пусть матрицы А и В подобны, то есть А = T ^–1ВТ. Тогда

|A – E| = |T ^–1ВТ – T ^–1ЕТ | = |T ^–1(В – Е)Т | = |T ^–1||В – Е||Т | = = |T ^–1||Т ||В – Е| = |T ^–1Т ||В – Е| = |E||В – Е| = 1|В – Е| = |В – Е|.

Так как характеристические многочлены равны, то совпадают и множества собственных значений подобных матриц А и В.

Следствие. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от базиса, в котором найдена эта матрица (матрицы линейного оператора, найденные в различных базисах, подобны).