8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем.

Пусть P – произвольное поле. Известные нам примеры полей – поле рациональных, действительных, комплексных чисел.

Определение 8.1. Множество V называется векторным (или линейным) пространством над полем P, если для каждых двух элементов a, b  V определена сумма a + b  V,и для каждого k  P и для каждого a  V определено произведение ka  V, причем справедливы следующие равенства: для любых a, b, c  V и любых k, l  P

1. a + b = b + a;

2. a + (b + c) = (a + b) + c;

3.  о  V : a + о = a;

4.  а,  (–а) : a + (–a) = о;

5. 1a = a, 1  P;

6. k(la) = l(ka) = (lk)a;

7. (k + l)a = ka + la;

8. k(a + b) = ka + kb.

Элементы векторного пространства принято называть векторами, о - нулевой вектор; (–а) – вектор, противоположный вектору а; 1  P – единица поля P.

Примеры 8.1. Приведем примеры векторных пространств.

1) Rⁿ – арифметическое n-мерное векторное пространство.

2) Множество матриц одного итого же размера с действительными коэффициентами R^mn, сложение матриц и умножение их на действительное число определены.

3) R[x] – множество многочленов с действительными коэффициентами, сложение многочленов и умножение их на действительное число известны.

4) R[x]_(n) – множество многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходящей n.

5) Множество направленных отрезков плоскости или пространства с общим началом в начале координат. Сложение таких отрезков осуществляется по правилу параллелограмма, умножение по известному правилу.

6) R(a, b) – множество функций определенных, дифференцируемых на отрезке [a, b].

Если числа в определении 8.1 k, l … брать из поля действительных (вещественных) чисел R, т. е. Р = R, то пространство называется вещественным векторным (линейным) пространством; если же из поля комплексных чисел, то приходим к понятию комплексного линейного пространства.