8.2. Подпространства. Линейные многообразия

Пусть V – векторное пространство, L  V (L подмножество V).

Определение 8.2. Подмножество L векторного пространства V называется подпространством пространства V, если

1.  а, b  L : а + b  L;

2.  а  L, k  P: kа  L.

Обозначение L  V. Принято говорить, что подмножество L замкнуто относительно сложения векторов и относительно умножения их на элемент из поля P.

Пример 8.2.

1) В каждом векторном пространстве есть два подпространства, называемых несобственными: L = {0} – нулевое подпространство, L = V – подпространство, совпадающее со всем пространством .

Приведем примеры собственных подпространств.

2) Пусть V = R⁴, L = {((₁, ₂, ₃, 0), _i  R} – подпространство, так как для произвольных векторов а = (₁, ₂, ₃, 0)  L и b = (₁, ₂, ₃, 0)  L и k  P:

• а + b = (₁ + ₁, ₂ + ₂, ₃ + ₃, 0 + 0)  L;

• ka = (k₁, k₂, k₃, 0)  L.

3) В пространстве квадратных матриц подпространство образует подмножество диагональных матриц.

4) В пространстве направленных отрезков подпространством является множество отрезков, лежащих на прямой, проходящей через начало координат.

Теорема 8.1. Линейная оболочка L(а₁, а₂, …, а_m) системы векторов а₁, а₂, …, а_m образует подпространство пространства V.

В этом случае принято говорить, что L(а₁, а₂, …, а_m) подпространство, натянутое на векторы а₁, а₂, …, а_m, или что L(а₁, а₂, …, а_m) – подпространство, порожденное векторами а₁, а₂, …, а_m. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется системой образующих подпространства L(а₁, а₂, …, а_m).