8.3.2. Базисы и размерности подпространств

1. Пусть подпространство L = L(а₁, а₂, …, а_m) , то есть L – линейная оболочка системы а₁, а₂, …, а_m; векторы а₁, а₂, …, а_m – система образующих этого подпространства. Тогда базисом L является базис системы векторов а₁, а₂, …, а_m, то есть базис системы образующих. Размерность L равна рангу системы образующих.

2. Пусть подпространство L является суммой подпространств L₁ и L₂. Систему образующих суммы подпространств можно получить объединением систем образующих подпространств, после чего находится базис суммы. Размерность суммы находится по следующей формуле:

dim(L₁ + L₂) = dimL₁ + dimL₂ – dim(L₁  L₂).

3. Пусть сумма подпространств L₁ и L₂ прямая, то есть L = L₁  L₂. При этом L₁  L₂ = {о} и dim(L₁  L₂) = 0. Базис прямой суммы равен объединению базисов слагаемых. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых.

4. Приведем важный пример подпространства и линейного многообразия.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными. Множество решений М₀ этой системы является подмножеством множества Rⁿ и замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на действительное число. Это означает, что это множество М₀ – подпространство пространства Rⁿ. Базисом подпространства является фундаментальный набор решений однородной системы, размерность подпространства равна количеству векторов в фундаментальном наборе решений системы.

Множество М решений общей системы m линейных уравнений с n неизвестными так же является подмножеством множества Rⁿ и равно сумме множества М₀ и вектора а, где а – некоторое частное решение исходной системы, а множество М₀ – множество решений однородной системы линейных уравнений, сопутствующей данной системе (она отличается от исходной только свободными членами),

М = а + М₀ = {а = m, m  М₀}.

Это означает, что множество М является линейным многообразием пространства Rⁿ с вектором сдвига а и направлением М₀.

Пример 8.6. Найти базис и размерность подпространства, заданного однородной системой линейных уравнений:

Решение. Найдем общее решение этой системы и ее фундаментальный набор решений: с₁ = (–21, 12, 1, 0, 0), с₂ = (12, –8, 0, 1, 0), с₃ = (11, –8, 0, 0, 1).

Базис подпространства образуют векторы с₁, с₂, с₃, его размерность равна трем.