6.3. Исследование системы линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений – это значит, не решая систему, ответить на вопрос: совместна система или нет, а если совместна, то, сколько у нее решений. Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Теорема 6.3 (Кронекера¹²–Капелли¹³). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то есть r(A) = r(А|B).

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения.

Теорема 6.4. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то есть r(A) = r(А|B) = n, то эта система определенная, имеет единственное решение.

Теорема 6.5. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то есть r(A) = r(А|B) < n, то система неопределенная и имеет бесконечно много решений; причем количество свободных неизвестных равно (n – r).

Пример 6.4. Исследовать систему линейных уравнений на совместность:

Решение. Так как в системе число уравнений меньше числа неизвестных, то применим только метод Гаусса. Приводим расширенную матрицу этой системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

 .

Получили, что ранг основной матрицы равен двум, а расширенной матрицы – трем, следовательно, данная система линейных уравнений несовместна.