4. Извлечение корня n-ой степени.

Можно показать, что каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней n-й степени.

Если z = r(cos + isin), то

= =

(cos + isin), гдеk = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.16. Найти .

Решение. Пусть z = 16, найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Имеем z = 16  a = 16, b = 0  r = == 16;т. к. a = 16 > 0, то  =  = =  == 0.Тогда z = 16 = r(cos + isin) = 16(cos0 + isin0).

Применяем формулу для нахождения корня n-ой степени.

= ==(cos + isin) =

= 2(cos + isin) ,где k = 0, 1, 2, 3. Найдем все четыре корня:

k = 0  ₀ = 2(cos + isin) = 2 (cos0 + isin0) = 2,

k = 1  ₁ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(0 +i1) = 2i,

k = 2  ₂ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(–1 + i0) = –2,

k = 3  ₃ = 2(cos + isin) = 2(cos + isin) = 2(0 –i)) = –2i.

Замечание. Геометрически все n значений корней n-ой степени из комплексного числа r(cos + isin) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Если эти точки соединить, то в результате получится правильный n-угольник.