1. Сложение линейных операторов.

Определение 9.5. Суммой линейных операторов  и  называется отображение, обозначаемое  + ψ и действующее по правилу: ( + ψ)(x) = (x) + ψ(x), для  х  V.

Теорема 9.3. Сумма линейных операторов является линейным оператором.

Доказательство. Проверим два свойства.

1. ( + ψ)(x + y) = (x + y) + ψ(x + y) =(x) + (y) + ψ(x) + ψ(y) = (x) + + ψ(x) + (y) + ψ(y) = ( +ψ)(x) + ( + ψ)(y).

2. ( + ψ)(λx) = (λx) + ψ(λx) = λ(x) + λψ(x) = λ( + ψ)(x).

В ходе доказательства использовались определение линейного оператора и определение суммы линейных операторов. Теорема доказана.