Метрические понятия

В евклидовых векторных пространствах от введенного скалярного произведения можно перейти к понятиям нормы вектора и угла между векторами.

Определение 8.16. Нормой (длиной, модулем) вектора а называется число, равное корню из скалярного квадрата вектора а: ||a|| = .

Поскольку (а, а)  0, то норма вектора определена.

Определение 8.17. Вектор а называется нормированным, если его норма равна единице, т. е. ||a|| = 1.

Свойства нормы

1. ||a|| = 0  a = о.

2. ||a|| = ||||a||, т. к. ||a|| =  =  = ||||a||.

3. Неравенство Коши – Буняковского: |(а, b)|  ||a||||b||.

Доказательство. Для любого числа λ и любых векторов a, b ≠ 0 выполняется условие (a – b, a – b)  0  (a, a) – 2(a, b) + ²(b, b)  0. Квадратный трехчлен относительно λ неотрицателен при любом λ, если его дискриминант неположителен: D = 4(a, b)² – 4(a, a)(b, b)  0  (a, b)²  ||a||²||b||²  |(a, b)|  ||a||||b||.

4. Неравенство треугольника: ||a + b||  ||a|| + ||b||.

Пример 8.11. Будем считать (если нет специальных оговорок), что скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

1. Найти норму вектора а = (, , ). Найдем (a, a): (a, a) =  = 1  ||a|| = 1.

2. Нормировать вектор b = (–4, 2, 2, –1). Найдем норму вектора ||b||: (b, b) = (–4)² + 2² + 2² + (–1)² = 25  ||b|| =  = 5. Вектор e = b нормирован, это можно проверить, используя свойство 2, тогда e = b = (, , , ).

Определение 8.18. Углом между ненулевыми векторами а и b называется угол, меняющийся в пределах от 0 до  и определенный условием .

В силу неравенства Коши – Буняковского принимает значения от (–1) до 1 и, следовательно, угол между ненулевыми векторами определен.

Определение 8.19. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Обозначение: а  b.

Это определение согласуется с определением угла между векторами.

Определение 8.20. Нулевой вектор считается ортогональным любому вектору.

Ортонормированный базис евклидова векторного пространства

Определение 8.21. Базис евклидова векторного пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, то есть если а₁, а₂, …, а_n – ортогональный базис пространства, то (а_i, а_j) = 0 при i ≠ j, i, j = 1, 2, …, n.

Определение 8.22. Ортогональный базис называется ортонормированным, если каждый вектор базиса нормирован, то есть если e₁, e₂, …, e_n – ортонормированный базис, то (e_i, e_j) = 0 при i ≠ j и (e_i, e_i) = 1, i, j = 1, 2, …, n.

Докажем возможность существования ортонормированного базиса.

Теорема 8.11. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть система векторов а₁, а₂, …, а_k – ненулевая и ортогональная, то есть а_i ≠ о, (а_i, а_j) = 0 при i ≠ j, i, j = 1, 2, …, k. Покажем, что равенство ₁а₁ + ₂а₂ + … + _kа_k = о возможно лишь тогда, когда ₁ = ₂ = … = _k = 0. Умножим это равенство скалярно на а₁:

(₁а₁ + ₂а₂ + … + _kа_k, а₁) = (о, а₁) 

₁(а₁, а₁) + ₂(а₂, а₁) + … + _k(а_k, а₁) = 0.

В силу ортогональности системы (т. е. (а₂, а₁) = 0, …, (а_k, а₁) = 0) получим ₁(а₁, а₁) = 0 и, так как а₁ ≠ о (т. е. (а₁, а₁) ≠ 0), то ₁ = 0. Аналогично доказывается, что ₂ = 0, …, _k = 0 (умножая исходное равенство по очереди на ₂, ₃, …, _k), следовательно, система векторов а₁, а₂, …, а_k линейно независима. Теорема доказана.