Ранг системы векторов

Дадим два равносильных определения ранга системы векторов.

Определение 7.16. Рангом системы векторов называется количество векторов в любом базисе этой системы.

Определение 7.17. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов в этой системе.

Если дана система векторов а₁, а₂, …, а_m пространства Rⁿ, то ранг r этой системы не больше количества векторов в ней и не больше размерности пространства Rⁿ, то есть r  m и r  n, или r  min(m, n).

Ранг линейно независимой системы векторов равен количеству векторов в ней.

Ранг ступенчатой системы векторов равен количеству векторов в ней.

Лемма 7.1 (о ранге системы векторов). Ранг системы векторов не изменится, если к ней добавить (или удалить) вектор, являющийся линейной комбинацией остальных.

На основании этой леммы можно доказать теорему.

Теорема 7.5. Ранг системы векторов не меняется при следующих преобразованиях, называемых элементарными:

1. умножение вектора на число, не равное нулю;

2. прибавление к одному вектору другого, умноженного на произвольное число;

3. удаление нулевого вектора.

С помощью этих преобразований векторы системы можно поменять местами.

Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов

Из данной системы векторов составляем матрицу, расположив векторы как строки этой матрицы. Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками этой матрицы. При этом не меняется ни ранг матрицы, ни ранг системы векторов-строк. Ранг полученной ступенчатой матрицы, а также полученной ступенчатой системы векторов равен количеству оставшихся ненулевых строк. Базисом системы векторов являются те векторы, на месте которых остались ненулевые строки.

Пример 7.4. Найти ранг и базис системы векторов а₁ = (1, 3, 0, 5), а₂ = (1, 2, 0, 4), а₃ = (1, 1, 1, 3) а₄ = (1, 0, –1, 0), а₅ = (1, –3, 3, –1).

Решение. Действуем по описанной схеме.

      .

Ранг системы векторов равен трем (по количеству оставшихся ненулевых строк), один из базисов образуют векторы а₁, а₂, а₃.

Нахождение ранга системы векторов позволяет решать вопрос о линейной зависимости системы векторов. Если ранг системы векторов равен количеству векторов в системе, то эта система линейно независима, если же ранг системы векторов меньше количества векторов в системе, то эта система векторов линейно зависима.

Так как ранг рассмотренной системы (пример 7.4) векторов а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ равен трем и меньше числа векторов, то есть пяти, то система векторов а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ линейно зависима.