Скалярное произведение в координатах

В евклидовом векторном пространстве V размерности n задан базис e₁, e₂, …, e_n. Векторы x и y разложены по векторам базиса: x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n, y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n. Найдем скалярное произведение этих векторов

(x, y) = (x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n)(y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n) =

= x₁ y₁(e₁, e₁) + x₁ y₂(e₁, e₂) + … + x₁ y_n(e₁, e_n) + … + x_n y_n(e_n, e_n) =

= .

Очевидно, что для задания скалярного произведения, необходимо задать матрицу A = , где a_ij = (e_i, e_j). Если (x₁, x₂, …, x_n) – строка координат вектора x, а – столбец координат вектора y, то (x, y) = (x₁, x₂, …, x_n).

Матрица A не может быть произвольной, иначе не станут выполняться аксиомы евклидова векторного пространства. Эта матрица должна быть симметрической и должна задавать положительно определенную квадратичную форму. Простейшим примером такой матрицы является матрица E. При этом (x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + … + x_ny_n, то есть скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.