4.2. Определитель матрицы n-го порядка

Для того чтобы дать определение определителя произвольного порядка, введем некоторые понятия. Пусть а_ij – элемент определителя порядка n, где i, j = 1, 2, …, n.

Определение 4.4. Минором элемента _аij называется определитель M_ij, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Из определения следует, что минор элемента – это определитель (n – 1) порядка.

Определение 4.5. Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком (–1)^i + j, т. е. А_ij = (–1)^i + jM_ij.

Для определения понятия определителя n-го порядка воспользуемся индукцией по n, где n – порядок матрицы A.

Определение 4.6.

1. При n = 1 матрица А состоит из одного числа: |A| = а₁₁.

2. Пусть для матрицы порядка (n – 1) определитель известен.

3. Определителем матрицы А произвольного порядка n называется число, находящееся по формуле: |A| = , где суммирование распространяется на все элементы матрицы А.

Эта формула сводит вычисление определителей порядка n к вычислению определителей порядка (n – 1).