8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса

Рассмотрим конечномерное векторное пространство V размерности n, векторы e₁, e₂, …, e_n образуют его базис. Пусть a – произвольный вектор пространства V, тогда вектор линейно выражается через векторы базиса, a = ₁e₁ + ₂e₂ + … + _ne_n.

Теорема 8.8. Разложение вектора a по векторам базиса производится единственным образом.

Доказательство. Предположим, что вектор a можно разложить по векторам базиса двумя способами:

a = ₁e₁ + ₂e₂ + … + _ne_n.

a = '₁e₁ + '₂e₂ + … + '_ne_n.

После вычитания из одного равенства другого, получим

(₁ – '₁) e₁ + (₂ – '₂)e₂ + … + (_n – '_n)e_n = 0,

из чего в силу линейной независимости базисных векторов e₁, e₂, …, e_n следует, что ₁ – '₁ = 0, ₂ – '₂ = 0, …, _n – '_n = 0, а затем что ₁ = '₁, ₂ = '₂, …, _n = '_n. Таким образом, коэффициенты разложения определяются однозначно. Теорема доказана.

Определение 8.13. Координатами вектора a относительно базиса e₁, e₂, …, e_n называются коэффициенты разложения вектора a по базисным векторам.

Координаты вектора принято записывать или в виде строки координат (координатной строки) – (₁, ₂, …, _n), или в виде координатного столбца: [a] = .

Пример 8.7. 1) В пространстве R^22 вектор A =  раскладывается по векторам базиса Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ следующим образом: А = 2Е₁ – Е₂ + 4Е₃ + 7Е₄, следовательно, координатная строка этого вектора равна (2, –1, 4, 7).

2) В пространстве выбран базис а₁ = (1, 3, –1), а₂ = (–2, 1, 1), а₃ = (2, –2, –1). Найти координаты вектора a = (3, 0, –2) относительно базиса а₁, а₂, а₃. Векторное равенство a = x₁а₁ + x₂а₂ + x₃а₃ перепишем в виде системы линейных уравнений Решая эту систему, получим x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 2, следовательно, координатная строка вектора a равна (1, 1, 2).

Каждому вектору a из произвольного векторного пространства V, в котором задан базис e₁, e₂, …, e_n, сопоставляется строка (или столбец) координат (₁, ₂, …, _n), причем единственным образом. Если V пространство размерности n, то строка координат принадлежит пространству Rⁿ, то есть возникает отображение: V  Rⁿ. Обратно, по строке координат (₁, ₂, …, _n), (по вектору из Rⁿ) единственным образом можно построить вектор a = ₁e₁ + ₂e₂+ … + _ne_n. Для этого отображения верна следующая теорема.

Теорема 8.9. Если векторы а₁, а₂, …, а_m из произвольного пространства V образуют линейно независимую систему векторов, то их строки (или столбцы) координат тоже линейно независимы.