8.4 Евклидовы векторные пространства

Дано векторное пространство V над полем действительных чисел. Это пространство может быть как конечномерным векторным пространством размерности n, так и бесконечномерным.

Определение 8.15. Векторное пространство V называется евклидовым векторным пространством, если задано правило, по которому любой паре векторов ставится в соответствие единственное действительное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением векторов x и y (другими словами, задано отображение V  V  R). При этом указанное правило подчинено 4 аксиомам:

1. (x, y) = (y, x);

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3. (x, y) = (x, y), где   R;

4. (x, x)  0, причем (x, x) = 0  x = о; при этом (x, x) называют скалярным квадратом элемента х.

Пример 8.10. Приведем примеры евклидовых пространств.

1. V = Rⁿ – арифметическое n-мерное векторное пространство. Если векторам x = (x₁, x₂, …, x_n) и y = (y₁, y₂, …, y_n) поставлено в соответствие число (x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + … + x_ny_n, то аксиомы выполняются. Проверим последнюю из них. Найдем (x, x): (x, x) = . Сумма квадратов во множестве действительных чисел неотрицательна. Полученное евклидово векторное пространство называется стандартным евклидовым векторным пространством.

2. V – пространство направленных отрезков с общим началом в начале координат. Скалярным произведением двух векторов назовем число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Все требуемые свойства выполняются, что известно еще из школы.

3. V = R(a, b) – множество функций, заданных и непрерывных на промежутке [a, b]. Зададим скалярное умножение векторов из R(a, b) следующим способом: . Из свойств определенного интеграла получаются все свойства, требуемые в определении скалярного произведения.