9.5. Ядро и образ линейного оператора

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение9.8. Ядром линейного оператора  называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Ker, т. е.

Ker = {x | (х) = o}.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker = d.

Определение 9.10. Образом линейного оператора  называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Im, т. е. Im = {(х) | х  V}.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R[x]_(3) найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker = {f | f = c} и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im = R[x]_(2) и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M(), то для нахождения его ядра надо решить уравнение (х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M()[x] = [о]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы (e₁), (e₂), …, (e_n). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.