6.2.2. Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю.

Матричная форма записи системы линейных уравнений представляется в виде следующего матричного равенства: АХ = В.

В силу условия матрица А – квадратная матрица порядка n с определителем не равным нулю. Это означает, что для матрицы А существует обратная матрица А^–1. Умножим обе части матричного равенства на матрицу А^–1 слева. Получим А^–1(АХ) = А^–1В. Преобразуем данной выражение:

(А^–1А)Х = А^–1В;

EХ = А^–1В;

Х = А^–1В.

Вывод: если для системы n линейных уравнений с n неизвестными определитель основной матрицы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле Х = А^–1В, где А – основная матрица данной системы, В – столбец свободных членов.

Пример 6.2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Здесь А = , Х = , B = . Найдем матрицу А^–1 любым способом. Имеем А^–1 = . Теперь можно вычислить столбец неизвестных X.

X =  =  =  = . Значит x₁ = 1, x₂ = 1.

Ответ: (1; 1).

Очевидно, что применение этих методов связано с выполнением определенных условий и решить с их помощью произвольную систему невозможно.