Способы задания линейных операторов
Приведенные примеры не показывают, сколько в каждом векторном пространстве существует линейных операторов, каким способом их можно задавать. Ответом на эти вопросы является следующая теорема.
Теорема 9.1. Для того чтобы задать линейный оператор, достаточно задать образы базисных векторов.
Доказательство. Другими словами, если e1, e2, …, en – некоторый базис векторного пространства V над полем P, а b1, b2, …, bn – произвольные векторы этого же пространства, то существует единственный линейный оператор, такой, что (e1) = b1, (e2) = b2, …, (en) = bn.
Покажем, как найти образ произвольного вектора x. Разложим вектор x по базисным векторам и найдем его образ, используя свойства линейного отображения:
x = x1e1 + x2e2 + … + xnen, где xi Р (х) = (x1e1 + x2e2 + … + xnen) = = (x1e1) + (x2e2) + … + (xnen) = x1(e1) + x2(e2) + … + xn(en) = = x1b1 + x2b2 + … + xnbn. Теорема доказана.
Пусть в векторном пространстве V задан линейный оператор , т. е. указаны образы базисных векторов (e1), (e2), …, (en). Разложим эти векторы по векторам базиса:
(e1) = 11e1 + 21e2 + … + n1en,
(e2) = 12e1 + 22e2 + … + n2en,
…………………………………..…..
(en) = 1ne1 + 2ne2 + … + nnen.
Используем координаты образов базисных векторов.
Определение 9.3. Матрицей линейного оператора в данном базисе называется матрица, составленная из координат образов базисных векторов, записанных в столбцы.
M() = , M() Рnn.
Если зафиксировать базис пространства V, то каждому линейному оператору ставится в соответствие единственная квадратная матрица порядка: M().
Верно и обратное: по произвольной квадратной матрице A единственным образом можно задать линейный оператор , взяв за координаты образов базисных векторов столбцы матрицы A.
Пример 9.2. 1) В пространстве V размерности 3 найти матрицу оператора гомотетии.
Решение. Выбираем произвольный базис e1, e2, e3, находим образы базисных векторов (e1) = ke1, (e2) = ke2, (e3) = ke3, а затем их координаты.
[(e1)] = , [(e2)] = , [(e3)] = .
Составляем матрицу : M() = . В частности, получаем матрицы тождественного и нулевого операторов: M() = = Е, M() = = О.
2) Найти матрицу оператора дифференцирования в пространстве R[x](3) в базисе e1 = 1, e2 = x, e3 = x2, e4 = x3.
Решение. Найдем образы базисных векторов, их координаты и составим матрицу линейного оператора.
(e1) = 0, (e2) = 1, (e3) = 2x, (e4) = 3x2;
[(e1)] = , [(e2)] = , [(e3)] = ,[(e4)] = ;M() = .
- Т. Н. Матыцина е. К. Коржевина линейная алгебра
- Оглавление
- Введение
- 1. Множества
- 1.1. Множества и их элементы. Способы задания множеств
- 1.2. Подмножества. Диаграммы Эйлера – Венна
- 1.3. Операции над множествами и их свойства
- 1. Объединение (или сумма).
- 2. Пересечение (или произведение).
- 3. Разность.
- 4. Декартовое произведение (или прямое произведение).
- Свойства операций над множествами
- 1.4. Метод математической индукции
- 1.5. Комплексные числа
- Операции над комплексными числами
- Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- Тригонометрическая форма комплексного числа
- Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- 3. Возведение в степень.
- 4. Извлечение корня n-ой степени.
- Показательная форма комплексного числа
- 2. Бинарные отношения
- 2.1. Понятие отношения
- Способы задания бинарных отношений
- Операции над бинарными отношениями
- 2.2. Свойства бинарных отношений
- 2.3. Отношение эквивалентности
- 2.4. Функции
- 3. Матрицы и действия над ними
- 3.1. Общие понятия
- 3.2. Основные операции над матрицами и их свойства
- 3.2.1. Сложение однотипных матриц
- 3.2.2. Умножение матрицы на число
- 3.2.3. Умножение матриц
- 3.3. Транспонирование матриц
- 4. Определители квадратных матриц
- 4.1. Определители матриц второго и третьего порядка
- 4.2. Определитель матрицы n-го порядка
- 4.3. Свойства определителей
- 4.4. Практическое вычисление определителей
- 5. Ранг матрицы. Обратная матрица
- 5.1. Понятие ранга матрицы
- 5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров
- 5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- 5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения
- Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
- 6. Системы линейных уравнений
- 6.1. Основные понятия и определения
- 6.2. Методы решения систем линейных уравнений
- 6.2.1. Метод Крамера
- 6.2.2. Метод обратной матрицы
- 6.2.3. Метод Гаусса
- Описание метода Гаусса
- 6.3. Исследование системы линейных уравнений
- 6.4. Однородные системы линейных уравнений
- Свойства решений однородной системы линейных уравнений
- Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
- 7. Арифметическое n-мерное векторное пространство
- 7.1. Основные понятия
- 7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов
- Свойства линейной зависимости системы векторов
- Единичная система векторов
- Две теоремы о линейной зависимости
- 7.3. Базис и ранг системы векторов
- Базис пространства Rn
- Ранг системы векторов
- 8. Векторные (линейные) пространства
- 8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем.
- Простейшие свойства векторных пространств
- Линейная зависимость и независимость системы векторов
- 8.2. Подпространства. Линейные многообразия
- Пересечение и сумма подпространств
- Линейные многообразия
- 8.3. Базис и размерность векторного пространства
- 8.3.1. Конечномерные векторные пространства
- Базис конечномерного векторного пространства
- 8.3.2. Базисы и размерности подпространств
- 8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса
- 8.3.4. Координаты вектора в различных базисах
- 8.4 Евклидовы векторные пространства
- Скалярное произведение в координатах
- Метрические понятия
- Процесс ортогонализации
- Скалярное произведение в ортонормированном базисе
- Ортогональное дополнение подпространства
- 9. Линейные операторы
- 9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов
- Способы задания линейных операторов
- 9.2. Матрица линейного оператора Связь между координатами вектора и координатами его образа
- Матрицы линейного оператора в различных базисах
- 9.3. Подобные матрицы
- Свойства отношения подобия матриц
- 9.4. Действия над линейными операторами
- 1. Сложение линейных операторов.
- Свойства сложения линейных операторов
- 9.5. Ядро и образ линейного оператора
- 9.6. Обратимые линейные операторы
- 9.7. Собственные векторы линейного оператора
- 9.7.1. Свойства собственных векторов
- 9.7.2. Характеристический многочлен матрицы
- 9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора
- 9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора
- 9.7.5.Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице
- 10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора
- 10.1. Понятие λ-матрицы
- Свойства λ-матрицы
- 10.2. Жорданова нормальная форма
- 10.3.Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме
- Алгоритм приведения матрицы a к жордановой форме
- 11. Билинейные и квадратичные формы
- 11.1. Билинейные формы
- Свойства билинейных форм
- Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
- 11.2. Квадратичные формы
- Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- Закон инерции квадратичных форм
- Классификация квадратичных форм
- Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
- Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы
- Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
- Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы
- Заключение
- Библиографический список
- Линейная алгебра
- 156961, Г. Кострома, ул. 1 Мая, 14